题目
设矩阵A,B满足'BA=2BA+E，其中'BA=2BA+E，'BA=2BA+E为矩阵的伴随矩阵，求矩阵B。
设矩阵A,B满足
，其中
，
为矩阵的伴随矩阵，求矩阵B。
题目解答
答案
∵
∴矩阵A可逆
∴
∴
∵
∴
可逆
∴
即
由于对角矩阵的逆矩阵为将其主对角线上的元素都变为他的倒数，我们可以得到：
故本题答案为：
解析
步骤 1：确定矩阵A的可逆性
由于$A*BA=2BA+E$，其中$A*$是矩阵A的伴随矩阵，我们首先需要确定矩阵A是否可逆。如果矩阵A可逆，那么我们可以利用矩阵A的逆矩阵来简化方程。
步骤 2：利用矩阵A的伴随矩阵
根据伴随矩阵的性质，我们有$A* = |A|A^{-1}$，其中$|A|$是矩阵A的行列式。如果矩阵A可逆，那么$|A| \neq 0$，并且$A^{-1}$存在。因此，我们可以将方程$A*BA=2BA+E$改写为$|A|A^{-1}BA=2BA+E$。
步骤 3：简化方程
由于$A^{-1}BA$是矩阵B的相似变换，我们可以将方程进一步简化为$|A|B=2BA+E$。接下来，我们需要找到一个矩阵B，使得这个方程成立。
步骤 4：求解矩阵B
为了求解矩阵B，我们需要对方程$|A|B=2BA+E$进行变形。首先，我们可以将方程改写为$|A|B-2BA=E$。然后，我们可以将方程进一步改写为$(|A|E-2A)B=E$。由于$|A|E-2A$是矩阵A的一个线性组合，我们可以利用矩阵的逆来求解矩阵B。如果$|A|E-2A$可逆，那么我们可以得到$B=(|A|E-2A)^{-1}$。
步骤 5：验证矩阵B
最后，我们需要验证矩阵B是否满足原方程$A*BA=2BA+E$。将$B=(|A|E-2A)^{-1}$代入原方程，我们可以验证矩阵B是否满足方程。
由于$A*BA=2BA+E$，其中$A*$是矩阵A的伴随矩阵，我们首先需要确定矩阵A是否可逆。如果矩阵A可逆，那么我们可以利用矩阵A的逆矩阵来简化方程。
步骤 2：利用矩阵A的伴随矩阵
根据伴随矩阵的性质，我们有$A* = |A|A^{-1}$，其中$|A|$是矩阵A的行列式。如果矩阵A可逆，那么$|A| \neq 0$，并且$A^{-1}$存在。因此，我们可以将方程$A*BA=2BA+E$改写为$|A|A^{-1}BA=2BA+E$。
步骤 3：简化方程
由于$A^{-1}BA$是矩阵B的相似变换，我们可以将方程进一步简化为$|A|B=2BA+E$。接下来，我们需要找到一个矩阵B，使得这个方程成立。
步骤 4：求解矩阵B
为了求解矩阵B，我们需要对方程$|A|B=2BA+E$进行变形。首先，我们可以将方程改写为$|A|B-2BA=E$。然后，我们可以将方程进一步改写为$(|A|E-2A)B=E$。由于$|A|E-2A$是矩阵A的一个线性组合，我们可以利用矩阵的逆来求解矩阵B。如果$|A|E-2A$可逆，那么我们可以得到$B=(|A|E-2A)^{-1}$。
步骤 5：验证矩阵B
最后，我们需要验证矩阵B是否满足原方程$A*BA=2BA+E$。将$B=(|A|E-2A)^{-1}$代入原方程，我们可以验证矩阵B是否满足方程。