题目
lim _(xarrow infty )x((e)^dfrac (1{2x)}-1)=
=
题目解答
答案
利用等价无穷小的替换，有
时，
故
=
解析
步骤 1：等价无穷小替换
当$x\rightarrow \infty$时，$\dfrac{1}{2x}\rightarrow 0$，因此可以使用等价无穷小替换，即${e}^{\dfrac{1}{2x}}-1\sim \dfrac{1}{2x}$。
步骤 2：代入替换后的表达式
将${e}^{\dfrac{1}{2x}}-1$替换为$\dfrac{1}{2x}$，得到$\lim _{x\rightarrow \infty }x\cdot \dfrac{1}{2x}$。
步骤 3：计算极限
计算$\lim _{x\rightarrow \infty }x\cdot \dfrac{1}{2x}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。
当$x\rightarrow \infty$时，$\dfrac{1}{2x}\rightarrow 0$，因此可以使用等价无穷小替换，即${e}^{\dfrac{1}{2x}}-1\sim \dfrac{1}{2x}$。
步骤 2：代入替换后的表达式
将${e}^{\dfrac{1}{2x}}-1$替换为$\dfrac{1}{2x}$，得到$\lim _{x\rightarrow \infty }x\cdot \dfrac{1}{2x}$。
步骤 3：计算极限
计算$\lim _{x\rightarrow \infty }x\cdot \dfrac{1}{2x}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。