题目
在有理数集Q中,规定关系"~":-|||-sim bLeftrightarrow a-bin Z-|||-证明:~是Q的一个等价关系,并求出所有的等价类.
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明反身性
对于任意的 $a \in Q$，有 $a - a = 0 \in Z$，所以 $a \sim a$。这说明关系~具有反身性。
步骤 2：证明对称性
假设 $a \sim b$，即 $a - b \in Z$。那么 $b - a = -(a - b) \in Z$，所以 $b \sim a$。这说明关系~具有对称性。
步骤 3：证明传递性
假设 $a \sim b$ 且 $b \sim c$，即 $a - b \in Z$ 且 $b - c \in Z$。那么 $a - c = (a - b) + (b - c) \in Z$，所以 $a \sim c$。这说明关系~具有传递性。
步骤 4：求出所有的等价类
对于任意的 $r \in Q$，且 $0 \leqslant r < 1$，定义等价类 $[r] = \{r + z | z \in Z\}$。因为 $a \sim b$ 当且仅当 $a - b \in Z$，所以 $[r]$ 中的元素都是与 $r$ 差一个整数的有理数。因此，所有的等价类为 $Q/N = \{[r] | r \in Q$ 且 $0 \leqslant r < 1\}$。
对于任意的 $a \in Q$，有 $a - a = 0 \in Z$，所以 $a \sim a$。这说明关系~具有反身性。
步骤 2：证明对称性
假设 $a \sim b$，即 $a - b \in Z$。那么 $b - a = -(a - b) \in Z$，所以 $b \sim a$。这说明关系~具有对称性。
步骤 3：证明传递性
假设 $a \sim b$ 且 $b \sim c$，即 $a - b \in Z$ 且 $b - c \in Z$。那么 $a - c = (a - b) + (b - c) \in Z$，所以 $a \sim c$。这说明关系~具有传递性。
步骤 4：求出所有的等价类
对于任意的 $r \in Q$，且 $0 \leqslant r < 1$，定义等价类 $[r] = \{r + z | z \in Z\}$。因为 $a \sim b$ 当且仅当 $a - b \in Z$，所以 $[r]$ 中的元素都是与 $r$ 差一个整数的有理数。因此，所有的等价类为 $Q/N = \{[r] | r \in Q$ 且 $0 \leqslant r < 1\}$。