题目
(2) int xsqrt (x-1)dx;
题目解答
答案
解析
步骤 1：换元
设 $u = \sqrt{x-1}$，则 $x = u^2 + 1$，$dx = 2u\,du$。
步骤 2：代入
将 $x$ 和 $dx$ 代入原积分，得到 $\int (u^2 + 1)u \cdot 2u\,du$。
步骤 3：化简
化简得到 $\int (2u^4 + 2u^2)\,du$。
步骤 4：积分
对 $2u^4 + 2u^2$ 进行积分，得到 $\dfrac{2}{5}u^5 + \dfrac{2}{3}u^3 + C$。
步骤 5：回代
将 $u = \sqrt{x-1}$ 回代，得到 $\dfrac{2}{5}(\sqrt{x-1})^5 + \dfrac{2}{3}(\sqrt{x-1})^3 + C$。
步骤 6：化简
化简得到 $\dfrac{2}{5}(x-1)^2\sqrt{x-1} + \dfrac{2}{3}(x-1)\sqrt{x-1} + C$。
设 $u = \sqrt{x-1}$，则 $x = u^2 + 1$，$dx = 2u\,du$。
步骤 2：代入
将 $x$ 和 $dx$ 代入原积分，得到 $\int (u^2 + 1)u \cdot 2u\,du$。
步骤 3：化简
化简得到 $\int (2u^4 + 2u^2)\,du$。
步骤 4：积分
对 $2u^4 + 2u^2$ 进行积分，得到 $\dfrac{2}{5}u^5 + \dfrac{2}{3}u^3 + C$。
步骤 5：回代
将 $u = \sqrt{x-1}$ 回代，得到 $\dfrac{2}{5}(\sqrt{x-1})^5 + \dfrac{2}{3}(\sqrt{x-1})^3 + C$。
步骤 6：化简
化简得到 $\dfrac{2}{5}(x-1)^2\sqrt{x-1} + \dfrac{2}{3}(x-1)\sqrt{x-1} + C$。