题目
求微分方程dfrac (dy)(dx)+y=(e)^-x的通解.
求微分方程
的通解.
题目解答
答案
设通解为:
由于只有一个解,设特解为
代入原方程.
特解为
通解为:
解析
步骤 1：识别方程类型
给定的微分方程是$\dfrac {dy}{dx}+y={e}^{-x}$，这是一个一阶线性非齐次微分方程。一阶线性微分方程的一般形式是$\dfrac {dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$是$x$的函数。
步骤 2：求解齐次方程
首先，我们求解对应的齐次方程$\dfrac {dy}{dx}+y=0$。这是一个可分离变量的微分方程，分离变量后得到$\dfrac {dy}{y}=-dx$。对两边积分，得到$\ln|y|=-x+C$，其中$C$是积分常数。因此，齐次方程的通解是$y=C{e}^{-x}$。
步骤 3：求解非齐次方程
对于非齐次方程$\dfrac {dy}{dx}+y={e}^{-x}$，我们使用常数变易法。假设非齐次方程的特解形式为$y=v(x){e}^{-x}$，其中$v(x)$是待定函数。将$y=v(x){e}^{-x}$代入原方程，得到$v'(x){e}^{-x}+v(x)(-1){e}^{-x}+v(x){e}^{-x}={e}^{-x}$。简化后得到$v'(x){e}^{-x}={e}^{-x}$，即$v'(x)=1$。对$v'(x)=1$积分，得到$v(x)=x+C$。因此，非齐次方程的特解是$y=(x+C){e}^{-x}$。
步骤 4：合并齐次和非齐次方程的解
齐次方程的通解是$y=C{e}^{-x}$，非齐次方程的特解是$y=(x+C){e}^{-x}$。因此，原微分方程的通解是$y=(x+C){e}^{-x}$，其中$C$是任意常数。
给定的微分方程是$\dfrac {dy}{dx}+y={e}^{-x}$，这是一个一阶线性非齐次微分方程。一阶线性微分方程的一般形式是$\dfrac {dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$是$x$的函数。
步骤 2：求解齐次方程
首先，我们求解对应的齐次方程$\dfrac {dy}{dx}+y=0$。这是一个可分离变量的微分方程，分离变量后得到$\dfrac {dy}{y}=-dx$。对两边积分，得到$\ln|y|=-x+C$，其中$C$是积分常数。因此，齐次方程的通解是$y=C{e}^{-x}$。
步骤 3：求解非齐次方程
对于非齐次方程$\dfrac {dy}{dx}+y={e}^{-x}$，我们使用常数变易法。假设非齐次方程的特解形式为$y=v(x){e}^{-x}$，其中$v(x)$是待定函数。将$y=v(x){e}^{-x}$代入原方程，得到$v'(x){e}^{-x}+v(x)(-1){e}^{-x}+v(x){e}^{-x}={e}^{-x}$。简化后得到$v'(x){e}^{-x}={e}^{-x}$，即$v'(x)=1$。对$v'(x)=1$积分，得到$v(x)=x+C$。因此，非齐次方程的特解是$y=(x+C){e}^{-x}$。
步骤 4：合并齐次和非齐次方程的解
齐次方程的通解是$y=C{e}^{-x}$，非齐次方程的特解是$y=(x+C){e}^{-x}$。因此，原微分方程的通解是$y=(x+C){e}^{-x}$，其中$C$是任意常数。