求微分方程dfrac (dy)(dx)+y=(e)^-x的通解.

考查要点：本题主要考查一阶线性常微分方程的解法，包括齐次方程的通解求解和非齐次方程特解的待定系数法。

解题核心思路：

1. 齐次方程 $\dfrac{dy}{dx} + y = 0$ 的通解可通过分离变量法或特征方程法求得。
2. 非齐次方程 的特解形式需根据非齐次项 $e^{-x}$ 与齐次解的关系确定。由于非齐次项与齐次解重复，需将特解设为多项式乘以指数函数的形式。
3. 最终通解为齐次解与特解之和。

破题关键点：

• 特征方程法快速求齐次解。
• 待定系数法中特解形式的合理假设。
• 代入特解后通过系数比较确定未知参数。

步骤1：求齐次方程的通解

齐次方程为 $\dfrac{dy}{dx} + y = 0$，其特征方程为 $r + 1 = 0$，解得 $r = -1$。因此齐次解为：
$y_h = C e^{-x}$

步骤2：求非齐次方程的特解

非齐次项为 $e^{-x}$，与齐次解形式相同，因此设特解为：
$y_p = (ax + b)e^{-x}$

步骤3：代入原方程求参数

将 $y_p$ 代入原方程：

1. 计算导数：$\dfrac{dy_p}{dx} = a e^{-x} - (ax + b)e^{-x}$
2. 代入方程：
   $a e^{-x} - (ax + b)e^{-x} + (ax + b)e^{-x} = e^{-x}$
3. 化简得：$a e^{-x} = e^{-x}$，解得 $a = 1$，$b$ 任意（后续合并常数项）。

步骤4：写出通解

通解为齐次解与特解之和：
$y = y_h + y_p = C e^{-x} + (x + b)e^{-x} = (x + C)e^{-x}$