题目

(8)(int )_(1)^2sqrt (2x-{x)^2}dx=__________________.

(8) $\int_{1}^{2}\sqrt{2x-x^{2} }dx =$ __________________.

题目解答

答案

依题， $\int_{1}^{2}\sqrt{2x-x^{2} }dx =\int_{1}^{2}\sqrt{1-(x-1)^{2} }dx$

$\overset{令x-1=t,dx=dt}{\rightarrow} \int_{0}^{1}\sqrt{1-t^{2} }dt$ ,

由于 $\int_{0}^{1}\sqrt{1-t^{2} }dt$ 是单位圆 $t^{2}+s^{2}=1$ 在第一象限的面积，

则 $\int_{0}^{1}\sqrt{1-t^{2} }dt==\frac{1}{4}\cdot \pi\cdot 1^{2}=\frac{\pi }{4}$

因此 $\int_{1}^{2}\sqrt{2x-x^{2} }dx =\frac{\pi }{4}$

解析

考查要点：本题主要考查定积分的几何意义，特别是将二次函数的平方根形式转化为圆的方程，进而利用几何面积求解积分。

解题核心思路：

完成平方：将被积函数中的二次多项式转化为完全平方形式，识别出圆的方程。
几何意义转化：通过变量替换，将积分转化为圆在特定区域的面积计算。
面积公式应用：利用扇形或圆部分面积的公式直接得出结果。

破题关键点：

识别被积函数的几何意义：通过完成平方，将$\sqrt{2x - x^2}$转化为$\sqrt{1 - (x-1)^2}$，对应单位圆的上半部分。
变量替换：令$t = x - 1$，将积分区间平移至$[0, 1]$，对应四分之一圆的面积。

步骤1：完成平方
将被积函数中的二次多项式变形：
$\begin{aligned}2x - x^2 &= -(x^2 - 2x) \\&= -\left[(x-1)^2 - 1\right] \\&= 1 - (x-1)^2.\end{aligned}$
因此，被积函数变为：
$\sqrt{2x - x^2} = \sqrt{1 - (x-1)^2}.$

步骤2：变量替换
令$t = x - 1$，则当$x$从$1$到$2$时，$t$从$0$到$1$，且$dx = dt$。原积分转化为：
$\int_{1}^{2} \sqrt{1 - (x-1)^2} \, dx = \int_{0}^{1} \sqrt{1 - t^2} \, dt.$

步骤3：几何意义分析
积分$\int_{0}^{1} \sqrt{1 - t^2} \, dt$表示单位圆$ t^2 + y^2 = 1$在第一象限的部分（即四分之一圆）的面积。该面积为：
$\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{4}.$