题目

(8)(int )_(1)^2sqrt (2x-{x)^2}dx=__________________.

(8) $\int_{1}^{2}\sqrt{2x-x^{2} }dx =$ __________________.

题目解答

答案

依题， $\int_{1}^{2}\sqrt{2x-x^{2} }dx =\int_{1}^{2}\sqrt{1-(x-1)^{2} }dx$

$\overset{令x-1=t,dx=dt}{\rightarrow} \int_{0}^{1}\sqrt{1-t^{2} }dt$ ,

由于 $\int_{0}^{1}\sqrt{1-t^{2} }dt$ 是单位圆 $t^{2}+s^{2}=1$ 在第一象限的面积，

则 $\int_{0}^{1}\sqrt{1-t^{2} }dt==\frac{1}{4}\cdot \pi\cdot 1^{2}=\frac{\pi }{4}$

因此 $\int_{1}^{2}\sqrt{2x-x^{2} }dx =\frac{\pi }{4}$

解析

步骤 1：转换积分表达式
将积分表达式${\int }_{1}^{2}\sqrt {2x-{x}^{2}}dx$转换为${\int }_{1}^{2}\sqrt {1-{(x-1)}^{2}}dx$，这是通过将被积函数中的$2x-{x}^{2}$重写为$1-{(x-1)}^{2}$实现的。
步骤 2：识别积分的几何意义
${\int }_{1}^{2}\sqrt {1-{(x-1)}^{2}}dx$表示的是单位圆${}^{2}+{s}^{2}=1$在第一象限的面积，其中$x-1$是圆心在$(1,0)$的单位圆的$x$坐标。
步骤 3：计算积分值
由于积分表示的是单位圆在第一象限的面积，即四分之一的圆面积，因此${\int }_{0}^{1}\sqrt {1-{t}^{2}}dt=\dfrac {1}{4}\cdot \pi \cdot {1}^{2}=\dfrac {\pi }{4}$。