设 A=(}1&0&10&2&01&0&1=()。A. OB. AC. A²D. 不确定

考查要点：本题主要考查矩阵的幂运算规律及递推关系的应用。关键在于发现矩阵$A$满足特定的二次方程，从而推导出一般形式的表达式。

解题核心思路：

1. 计算低次幂：首先计算$A^2$，观察是否能发现规律或简化表达式。
2. 建立递推关系：若$A^2 = kA$（$k$为常数），则可推导出$A^n$的通项公式。
3. 代入化简：利用递推关系将$A^n$和$A^{n-1}$表示为$A$的线性组合，进而化简目标表达式。

破题关键点：

• 发现$A^2 = 2A$，这是简化高次幂运算的核心。
• 利用递推关系，将$A^n$表示为$2^{n-1}A$，从而快速化简表达式。

步骤1：计算$A^2$
通过矩阵乘法计算$A^2$：
$A^2 = \begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&0&2\\0&4&0\\2&0&2\end{pmatrix} = 2A$

步骤2：推导$A^n$的表达式
由$A^2 = 2A$，可得递推关系：
$A^n = A^{n-1} \cdot A = 2A^{n-2} \cdot A = 2A^{n-1}$
进一步归纳得：
$A^n = 2^{n-1}A \quad (n \geq 2)$

步骤3：化简目标表达式
将$A^n$和$A^{n-1}$代入原式：
$A^n - 2A^{n-1} = 2^{n-1}A - 2 \cdot 2^{n-2}A = 2^{n-1}A - 2^{n-1}A = 0$