题目
[题目]设三元线性方程组 =b, A的秩为2,m,-|||-巾,m为方程组的解, _(1)+(m)_(2)=((2,0,4))^T,-|||-+m=((1,-2,1))^T, 则对任意常数k,方程组 Ax=b 的通-|||-解为 ()-|||-A. ((1,0,2))^T+k((1,-2,1))^T-|||-B. ((1,-2,1))^T+k((2,0,4))^T-|||-C. ((2,0,4))^T+k((1,-2,1))^T-|||-D. ((1,0,2))^T+k((1,2,3))^T
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定基础解系
由于A的秩为2，而方程组是三元线性方程组，因此齐次方程组 $AX=OE$ 的基础解系只有一个解向量。
步骤 2：计算基础解系
已知m, m2, m为方程组的解，且 ${m}_{1}+{m}_{2}={(2,0,4)}^{T}$ . ${m}_{1}+{m}_{3}={(1,-2,1)}^{T}$ . 因此 ${m}_{2}-{m}_{3}=(m+{m}_{2})-(m+m)$ 是 $AX=OE$ 的解向量，从而 ${m}_{2}-{m}_{3}={(1,2,3)}^{T}$ 是 $AX=OE$ 的一个基础解系。
步骤 3：确定特解
由于 $\dfrac {1}{2}A(m+{m}_{2})=b$ ，即 $\dfrac {1}{2}(m+{m}_{2})$ 是 $Ax=bE$ 的解向量，因此(1,0,2)^T是 Ax=b 的解向量。
步骤 4：写出通解
方程组 $Ax=bB$ 的通解可表示为 ${(1,0,2)}^{T}+k{(1,2,3)}^{T}$ 。
由于A的秩为2，而方程组是三元线性方程组，因此齐次方程组 $AX=OE$ 的基础解系只有一个解向量。
步骤 2：计算基础解系
已知m, m2, m为方程组的解，且 ${m}_{1}+{m}_{2}={(2,0,4)}^{T}$ . ${m}_{1}+{m}_{3}={(1,-2,1)}^{T}$ . 因此 ${m}_{2}-{m}_{3}=(m+{m}_{2})-(m+m)$ 是 $AX=OE$ 的解向量，从而 ${m}_{2}-{m}_{3}={(1,2,3)}^{T}$ 是 $AX=OE$ 的一个基础解系。
步骤 3：确定特解
由于 $\dfrac {1}{2}A(m+{m}_{2})=b$ ，即 $\dfrac {1}{2}(m+{m}_{2})$ 是 $Ax=bE$ 的解向量，因此(1,0,2)^T是 Ax=b 的解向量。
步骤 4：写出通解
方程组 $Ax=bB$ 的通解可表示为 ${(1,0,2)}^{T}+k{(1,2,3)}^{T}$ 。