题目
在R^4中求一单位向量与 (1,1,-1,1), (1,-|||--1,-1,1) , (2,1,1,3) 正交。
题目解答
答案
解析
步骤 1：设向量
设向量 $a=(x_1, x_2, x_3, x_4)$ 与已知的三个向量正交，即 $a$ 与 $(1,1,-1,1)$, $(1,-1,-1,1)$, $(2,1,1,3)$ 的点积均为0。
步骤 2：建立方程组
根据正交条件，建立方程组：
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0 \\
x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 0 \\
2x_1 + x_2 + x_3 + 3x_4 = 0
\end{cases}
\]
步骤 3：求解方程组
解上述方程组，可以得到 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 的关系。为了简化计算，可以令 $x_3 = 1$，然后求解其他变量。
步骤 4：计算向量
将 $x_3 = 1$ 代入方程组，求解 $x_1, x_2, x_4$ 的值，得到向量 $a$。
步骤 5：单位化向量
将得到的向量 $a$ 单位化，即除以它的模长，得到单位向量 $n$。
设向量 $a=(x_1, x_2, x_3, x_4)$ 与已知的三个向量正交，即 $a$ 与 $(1,1,-1,1)$, $(1,-1,-1,1)$, $(2,1,1,3)$ 的点积均为0。
步骤 2：建立方程组
根据正交条件，建立方程组：
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0 \\
x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 0 \\
2x_1 + x_2 + x_3 + 3x_4 = 0
\end{cases}
\]
步骤 3：求解方程组
解上述方程组，可以得到 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 的关系。为了简化计算，可以令 $x_3 = 1$，然后求解其他变量。
步骤 4：计算向量
将 $x_3 = 1$ 代入方程组，求解 $x_1, x_2, x_4$ 的值，得到向量 $a$。
步骤 5：单位化向量
将得到的向量 $a$ 单位化，即除以它的模长，得到单位向量 $n$。