在R^4中求一单位向量与 (1,1,-1,1), (1,-|||--1,-1,1) , (2,1,1,3) 正交。

考查要点：本题主要考查向量正交性和单位向量的求解。需要找到一个与给定三个向量均正交的非零向量，并将其单位化。

解题核心思路：

1. 建立正交方程组：根据向量正交的定义，设所求向量为$(x_1, x_2, x_3, x_4)$，分别与三个已知向量点积为0，得到线性方程组。
2. 求解方程组：通过消元法化简方程组，确定自由变量，得到通解形式。
3. 构造特解并单位化：选取自由变量的具体值，得到非零解，再计算模长并单位化。

破题关键点：

• 消元法简化方程组：通过前两个方程快速确定$x_2=0$，减少变量数量。
• 选择自由变量：通常选择$x_3$或$x_4$作为自由变量，简化计算。

设所求向量为$a=(x_1, x_2, x_3, x_4)$，根据正交条件，列出方程组：

$\begin{cases}x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0 \quad \text{（与$(1,1,-1,1)$正交）} \\x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 0 \quad \text{（与$(1,-1,-1,1)$正交）} \\2x_1 + x_2 + x_3 + 3x_4 = 0 \quad \text{（与$(2,1,1,3)$正交）}\end{cases}$

步骤1：消元法化简方程组

1. 消去$x_2$：将前两个方程相减，得$2x_2=0 \implies x_2=0$。
2. 代入$x_2=0$：前两个方程简化为$x_1 - x_3 + x_4 = 0$。
3. 处理第三个方程：代入$x_2=0$，得$2x_1 + x_3 + 3x_4 = 0$。

步骤2：解简化后的方程组

1. 用$x_3$表示$x_1$和$x_4$：

   • 由$x_1 - x_3 + x_4 = 0$，得$x_1 = x_3 - x_4$。
   • 代入$2x_1 + x_3 + 3x_4 = 0$，得$2(x_3 - x_4) + x_3 + 3x_4 = 0 \implies 3x_3 + x_4 = 0 \implies x_4 = -3x_3$。
   • 进一步得$x_1 = x_3 - (-3x_3) = 4x_3$。

2. 通解形式：令$x_3 = t$（自由变量），则解为：
   $a = (4t, 0, t, -3t) = t \cdot (4, 0, 1, -3)$

步骤3：构造特解并单位化

1. 取$t=1$：得非零解$a=(4, 0, 1, -3)$。
2. 计算模长：$\|a\| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{26}$。
3. 单位化：单位向量为：
   $n = \left( \frac{4}{\sqrt{26}}, 0, \frac{1}{\sqrt{26}}, \frac{-3}{\sqrt{26}} \right)$