设随机变量的概率密度为求系数.

步骤 1：确定系数k
根据概率密度函数的性质，其在整个定义域上的积分应等于1。因此，我们有：
$$\int_{0}^{2} (kx + 1) dx = 1$$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，得到：
$$\left[\frac{kx^2}{2} + x\right]_{0}^{2} = 1$$
$$\frac{k(2)^2}{2} + 2 = 1$$
$$2k + 2 = 1$$
步骤 3：求解k
解上述方程，得到：
$$2k = -1$$
$$k = -\frac{1}{2}$$
步骤 4：计算期望E(X)
根据期望的定义，我们有：
$$E(X) = \int_{0}^{2} x(kx + 1) dx$$
代入k的值，得到：
$$E(X) = \int_{0}^{2} x(-\frac{1}{2}x + 1) dx$$
步骤 5：计算E(X)
计算上述积分，得到：
$$E(X) = \left[-\frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}$$
$$E(X) = -\frac{2^3}{6} + \frac{2^2}{2}$$
$$E(X) = -\frac{8}{6} + 2$$
$$E(X) = \frac{2}{3}$$
步骤 6：计算$E(X^2)$
根据方差的定义，我们有：
$$E(X^2) = \int_{0}^{2} x^2(kx + 1) dx$$
代入k的值，得到：
$$E(X^2) = \int_{0}^{2} x^2(-\frac{1}{2}x + 1) dx$$
步骤 7：计算$E(X^2)$
计算上述积分，得到：
$$E(X^2) = \left[-\frac{x^4}{8} + \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2}$$
$$E(X^2) = -\frac{2^4}{8} + \frac{2^3}{3}$$
$$E(X^2) = -\frac{16}{8} + \frac{8}{3}$$
$$E(X^2) = -2 + \frac{8}{3}$$
$$E(X^2) = \frac{2}{3}$$
步骤 8：计算方差D(X)
根据方差的定义，我们有：
$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$
代入E(X)和$E(X^2)$的值，得到：
$$D(X) = \frac{2}{3} - (\frac{2}{3})^2$$
$$D(X) = \frac{2}{3} - \frac{4}{9}$$
$$D(X) = \frac{6}{9} - \frac{4}{9}$$
$$D(X) = \frac{2}{9}$$