线性方程组 } kx_1 + 2x_2 + x_3 = 0 2x_1 + kx_2 = 0 x_1 - x_2 + x_3 = 0 有非零解的充分必要条件是(） A. k=2 或 k=3B. k=0 或 k=3C. k=-2 或 k=3D. k=-2 或 k=-3

为了确定线性方程组$\left\{\begin{matrix}kx_{1}+2x_{2}+x_{3}=0\\2x_{1}+kx_{2}=0\\x_{1}-x_{2}+x_{3}=0\end{matrix}\right.$有非零解的充分必要条件，我们需要分析该方程组的系数矩阵的行列式。一个线性方程组有非零解当且仅当其系数矩阵的行列式为零。 方程组的系数矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} k & 2 & 1 \\ 2 & k & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \] 我们需要计算矩阵$A$的行列式： \[ \det(A) = \begin{vmatrix} k & 2 & 1 \\ 2 & k & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} \] 我们可以沿第一行展开行列式： \[ \det(A) = k \begin{vmatrix} k & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & k \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \] 计算2x2行列式，我们得到： \[ \begin{vmatrix} k & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = k \cdot 1 - 0 \cdot (-1) = k \] \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 0 \cdot 1 = 2 \] \[ \begin{vmatrix} 2 & k \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) - k \cdot 1 = -2 - k \] 将这些值代回行列式表达式，我们得到： \[ \det(A) = k \cdot k - 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-2 - k) = k^2 - 4 - 2 - k = k^2 - k - 6 \] 我们需要找到使行列式为零的$k$的值： \[ k^2 - k - 6 = 0 \] 这是一个二次方程，我们可以将其因式分解为： \[ (k - 3)(k + 2) = 0 \] 将每个因子设为零，我们得到解： \[ k - 3 = 0 \quad \text{或} \quad k + 2 = 0 \] \[ k = 3 \quad \text{或} \quad k = -2 \] 因此，线性方程组有非零解的充分必要条件是$k = -2$或$k = 3$。 正确答案是$\boxed{C}$。