[单选题](z)=(z)^2+dfrac (1)({z)^2-1}f'(z)=( )A. (z)=(z)^2+dfrac (1)({z)^2-1}f'(z)=( )B. (z)=(z)^2+dfrac (1)({z)^2-1}f'(z)=( )C. (z)=(z)^2+dfrac (1)({z)^2-1}f'(z)=( )D. (z)=(z)^2+dfrac (1)({z)^2-1}f'(z)=( )

本题考查复变函数的导数计算，核心在于正确应用导数的四则运算法则和链式法则。关键点在于：

1. 分解函数：将函数拆分为多项式项和分式项分别求导；
2. 分式项的导数：对$\frac{1}{z^2 - 1}$使用链式法则，注意符号和分母的平方；
3. 合并结果：将两部分的导数相加，注意符号的正确性。

分解函数

函数$f(z) = z^2 + \frac{1}{z^2 - 1}$由两部分组成：

1. 多项式项：$z^2$；
2. 分式项：$\frac{1}{z^2 - 1}$。

求导过程

多项式项的导数

对$z^2$求导：
$\frac{d}{dz}(z^2) = 2z.$

分式项的导数

设$g(z) = z^2 - 1$，则分式项为$g(z)^{-1}$。根据链式法则：
$\frac{d}{dz}\left(g(z)^{-1}\right) = -g(z)^{-2} \cdot g'(z).$
计算$g'(z)$：
$g'(z) = \frac{d}{dz}(z^2 - 1) = 2z.$
代入分式项的导数：
$\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{z^2 - 1}\right) = -\frac{2z}{(z^2 - 1)^2}.$

合并结果

将两部分导数相加：
$f'(z) = 2z + \left(-\frac{2z}{(z^2 - 1)^2}\right) = 2z - \frac{2z}{(z^2 - 1)^2}.$

选项匹配

对比选项，B选项为$2z - \frac{2z}{(z^2 - 1)^2}$，与计算结果一致。