下列各组函数中，是相同的函数的是（）。A (x)=ln (x)^2 和 (x)=2ln x-|||-B f(x)=|x| 和 (x)=sqrt ({x)^2}-|||-C f(x)=x 和 (x)=((sqrt {x))}^2-|||-D (x)=dfrac (|x|)(x) 和 g(x)=1A、AB、BC、CD、D

判断两个函数是否相同，需要满足两个条件：

1. 定义域完全相同；
2. 对应法则完全相同（即对定义域内的每一个$x$，两个函数的输出值相等）。

本题通过四个选项，考查对函数定义域和对应法则的理解。关键在于：

• 化简表达式，明确对应法则；
• 分析定义域，注意分母、偶次根号、对数等限制条件。

选项A：$f(x)=\ln{x^2}$ 和 $g(x)=2\ln{x}$

1. 定义域分析：
   • $f(x)=\ln{x^2}$：要求$x^2 > 0$，即$x \neq 0$，定义域为$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$；
   • $g(x)=2\ln{x}$：要求$x > 0$，定义域为$(0, +\infty)$。
2. 对应法则分析：
   • 虽然$\ln{x^2} = 2\ln{|x|}$，但定义域不同，因此不是相同函数。

选项B：$f(x)=|x|$ 和 $g(x)=\sqrt{x^2}$

1. 定义域分析：
   • 两个函数均无输入限制，定义域为$\mathbb{R}$；
2. 对应法则分析：
   • $\sqrt{x^2} = |x|$，因此$f(x)$与$g(x)$的对应法则完全相同；
   • 是相同函数。

选项C：$f(x)=x$ 和 $g(x)=(\sqrt{x})^2$

1. 定义域分析：
   • $f(x)=x$：定义域为$\mathbb{R}$；
   • $g(x)=(\sqrt{x})^2$：要求$x \geq 0$，定义域为$[0, +\infty)$；
2. 对应法则分析：
   • 虽然$x \geq 0$时$g(x)=x$，但定义域不同，因此不是相同函数。

选项D：$f(x)=\dfrac{|x|}{x}$ 和 $g(x)=1$

1. 定义域分析：
   • $f(x)=\dfrac{|x|}{x}$：要求$x \neq 0$，定义域为$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$；
   • $g(x)=1$：定义域为$\mathbb{R}$；
2. 对应法则分析：
   • 当$x > 0$时，$f(x)=1$；当$x < 0$时，$f(x)=-1$；
   • $g(x)=1$对所有$x$均成立，因此对应法则不同。