求int ((arcsin x))^2dx

步骤 1：代换
令 $t = \arcsin x$，则 $x = \sin t$，$dx = \cos t dt$。
步骤 2：积分
将 $x = \sin t$ 和 $dx = \cos t dt$ 代入原积分，得到
$$\int {(\arcsin x)}^{2}dx = \int t^2 \cos t dt$$
步骤 3：分部积分
使用分部积分法，设 $u = t^2$，$dv = \cos t dt$，则 $du = 2t dt$，$v = \sin t$。
$$\int t^2 \cos t dt = t^2 \sin t - \int 2t \sin t dt$$
步骤 4：再次分部积分
对 $\int 2t \sin t dt$ 再次使用分部积分法，设 $u = 2t$，$dv = \sin t dt$，则 $du = 2 dt$，$v = -\cos t$。
$$\int 2t \sin t dt = -2t \cos t + \int 2 \cos t dt$$
步骤 5：计算
$$\int 2 \cos t dt = 2 \sin t$$
步骤 6：合并
将步骤 3、4、5 的结果合并，得到
$$\int t^2 \cos t dt = t^2 \sin t + 2t \cos t - 2 \sin t + C$$
步骤 7：回代
将 $t = \arcsin x$ 回代，得到
$$\int {(\arcsin x)}^{2}dx = x \arcsin^2 x + 2 \arcsin x \sqrt{1 - x^2} - 2x + C$$