题目
4.计算下列曲面积分:-|||-(3) int [ ((x+y))^2+(z)^2+2yz] dS, 其中∑是球面 ^2+(y)^2+(z)^2=2x+2z;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定球面方程
球面方程 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=2x+2z$ 可以重写为 ${x}^{2}-2x+{y}^{2}+{z}^{2}-2z=0$。通过配方，我们得到 $(x-1)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 2$，这是一个以 $(1,0,1)$ 为球心，半径为 $\sqrt{2}$ 的球面。
步骤 2：计算曲面积分
曲面积分 $\iint {[ {(x+y)}^{2}+{z}^{2}+2yz}] dS$ 可以通过参数化球面来计算。球面的参数化可以使用球坐标系，但这里我们直接利用球面的对称性来简化计算。注意到被积函数 $(x+y)^2 + z^2 + 2yz$ 可以重写为 $x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz$，而球面方程告诉我们 $x^2 + y^2 + z^2 = 2x + 2z$，因此被积函数可以简化为 $2x + 2z + 2xy + 2yz$。由于球面的对称性，$x$ 和 $z$ 的平均值为球心的坐标，即 $1$，而 $xy$ 和 $yz$ 的积分在球面上对称分布，其平均值为 $0$。因此，被积函数的平均值为 $2 \times 1 + 2 \times 1 = 4$。
步骤 3：计算球面的表面积
球面的表面积 $A$ 可以通过公式 $A = 4\pi r^2$ 计算，其中 $r$ 是球的半径。对于半径为 $\sqrt{2}$ 的球，表面积为 $4\pi (\sqrt{2})^2 = 8\pi$。
步骤 4：计算曲面积分的值
曲面积分的值等于被积函数的平均值乘以球面的表面积，即 $4 \times 8\pi = 32\pi$。
球面方程 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=2x+2z$ 可以重写为 ${x}^{2}-2x+{y}^{2}+{z}^{2}-2z=0$。通过配方，我们得到 $(x-1)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 2$，这是一个以 $(1,0,1)$ 为球心，半径为 $\sqrt{2}$ 的球面。
步骤 2：计算曲面积分
曲面积分 $\iint {[ {(x+y)}^{2}+{z}^{2}+2yz}] dS$ 可以通过参数化球面来计算。球面的参数化可以使用球坐标系，但这里我们直接利用球面的对称性来简化计算。注意到被积函数 $(x+y)^2 + z^2 + 2yz$ 可以重写为 $x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz$，而球面方程告诉我们 $x^2 + y^2 + z^2 = 2x + 2z$，因此被积函数可以简化为 $2x + 2z + 2xy + 2yz$。由于球面的对称性，$x$ 和 $z$ 的平均值为球心的坐标，即 $1$，而 $xy$ 和 $yz$ 的积分在球面上对称分布，其平均值为 $0$。因此，被积函数的平均值为 $2 \times 1 + 2 \times 1 = 4$。
步骤 3：计算球面的表面积
球面的表面积 $A$ 可以通过公式 $A = 4\pi r^2$ 计算，其中 $r$ 是球的半径。对于半径为 $\sqrt{2}$ 的球，表面积为 $4\pi (\sqrt{2})^2 = 8\pi$。
步骤 4：计算曲面积分的值
曲面积分的值等于被积函数的平均值乘以球面的表面积，即 $4 \times 8\pi = 32\pi$。