题目

设f(x)满足方程f(x) , 求f(x)的表达式.

设 $f(x)$ 满足方程 $2 f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}$ , 求 $f(x)$ 的表达式.

题目解答

答案

已知 $f(x)$ 满足方程 $2 f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}$ ,

则利用 $x=\frac{1}{t}$ 进行换元可以得到 $2f(\frac{1}{t})+f\left(t\right)=t$ ，即 $2f(\frac{1}{x})+f\left(x\right)=x(2)$ ，

由 $(1)\times2-(2)$ 可得 $3f(x)=\frac{2}{x}-x$ ，

解得 $f(x)=\frac{1}{3}(\frac{2}{x}-x)=\frac{2-x^2}{3x}$ 。

故答案为 $f(x)=\frac{2-x^2}{3x}$ .

解析

步骤 1：换元
将$x$替换为$\dfrac{1}{x}$，得到$2f(\dfrac{1}{x})+f(x)=x$。
步骤 2：建立方程组
原方程为$2f(x)+f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{1}{x}$，新方程为$2f(\dfrac{1}{x})+f(x)=x$。
步骤 3：解方程组
将原方程乘以2，得到$4f(x)+2f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{2}{x}$，然后减去新方程$2f(\dfrac{1}{x})+f(x)=x$，得到$3f(x)=\dfrac{2}{x}-x$。
步骤 4：求解f(x)
将$3f(x)=\dfrac{2}{x}-x$两边同时除以3，得到$f(x)=\dfrac{1}{3}(\dfrac{2}{x}-x)$。