题目
设= (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 1} , 则积分 (iint )_(D)((x)^3y+2)dsigma = () .-|||-(A)2pi (B)pi -|||-((C))^2(D)0
题目解答
答案
A. 2\pi
解析
步骤 1：确定积分区域
$D=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1\}$ 表示一个以原点为中心，半径为1的圆盘区域。
步骤 2：将积分区域转换为极坐标
在极坐标系中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$d\sigma=rdrd\theta$，其中$r$是极径，$\theta$是极角。
步骤 3：将被积函数转换为极坐标形式
${x}^{3}y+2=(r\cos\theta)^{3}(r\sin\theta)+2=r^{4}\cos^{3}\theta\sin\theta+2$。
步骤 4：计算积分
${\iint }_{D}({x}^{3}y+2)d\sigma ={\int }_{0}^{2\pi }{\int }_{0}^{1}(r^{4}\cos^{3}\theta\sin\theta+2)rdrd\theta$。
步骤 5：计算内层积分
${\int }_{0}^{1}(r^{4}\cos^{3}\theta\sin\theta+2)rdr ={\int }_{0}^{1}(r^{5}\cos^{3}\theta\sin\theta+2r)dr =\frac{1}{6}\cos^{3}\theta\sin\theta+1$。
步骤 6：计算外层积分
${\int }_{0}^{2\pi }(\frac{1}{6}\cos^{3}\theta\sin\theta+1)d\theta ={\int }_{0}^{2\pi }\frac{1}{6}\cos^{3}\theta\sin\theta d\theta +{\int }_{0}^{2\pi }1d\theta$。
步骤 7：计算第一项积分
${\int }_{0}^{2\pi }\frac{1}{6}\cos^{3}\theta\sin\theta d\theta =0$，因为$\cos^{3}\theta\sin\theta$是奇函数，积分区间关于原点对称。
步骤 8：计算第二项积分
${\int }_{0}^{2\pi }1d\theta =2\pi$。
步骤 9：得出最终结果
${\iint }_{D}({x}^{3}y+2)d\sigma =2\pi$。
$D=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1\}$ 表示一个以原点为中心，半径为1的圆盘区域。
步骤 2：将积分区域转换为极坐标
在极坐标系中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$d\sigma=rdrd\theta$，其中$r$是极径，$\theta$是极角。
步骤 3：将被积函数转换为极坐标形式
${x}^{3}y+2=(r\cos\theta)^{3}(r\sin\theta)+2=r^{4}\cos^{3}\theta\sin\theta+2$。
步骤 4：计算积分
${\iint }_{D}({x}^{3}y+2)d\sigma ={\int }_{0}^{2\pi }{\int }_{0}^{1}(r^{4}\cos^{3}\theta\sin\theta+2)rdrd\theta$。
步骤 5：计算内层积分
${\int }_{0}^{1}(r^{4}\cos^{3}\theta\sin\theta+2)rdr ={\int }_{0}^{1}(r^{5}\cos^{3}\theta\sin\theta+2r)dr =\frac{1}{6}\cos^{3}\theta\sin\theta+1$。
步骤 6：计算外层积分
${\int }_{0}^{2\pi }(\frac{1}{6}\cos^{3}\theta\sin\theta+1)d\theta ={\int }_{0}^{2\pi }\frac{1}{6}\cos^{3}\theta\sin\theta d\theta +{\int }_{0}^{2\pi }1d\theta$。
步骤 7：计算第一项积分
${\int }_{0}^{2\pi }\frac{1}{6}\cos^{3}\theta\sin\theta d\theta =0$，因为$\cos^{3}\theta\sin\theta$是奇函数，积分区间关于原点对称。
步骤 8：计算第二项积分
${\int }_{0}^{2\pi }1d\theta =2\pi$。
步骤 9：得出最终结果
${\iint }_{D}({x}^{3}y+2)d\sigma =2\pi$。