题目
2.计算int_(L)(y+2xy)dx+(x^2+2x+y^2)dy，其中L为x^2+y^2=4x的上半圆周由A(4,0)到O(0,0).
2.计算$\int_{L}(y+2xy)dx+(x^{2}+2x+y^{2})dy$，其中
L为$x^{2}+y^{2}=4x$的上半圆周由A(4,0)到O(0,0).
题目解答
答案
为了计算线积分$\int_{L}(y+2xy)dx+(x^{2}+2x+y^{2})dy$，其中$L$是圆$x^2 + y^2 = 4x$的上半圆周从$A(4,0)$到$O(0,0)$，我们可以使用格林定理。格林定理指出，对于一个正向、分段光滑、简单闭合曲线$C$和一个平面区域$D$，如果$L$和$M$在包含$D$的开区域内具有连续的偏导数，那么
\[
\oint_C (L\, dx + M\, dy) = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA.
\]
然而，由于我们的曲线$L$不是闭合的（它只是上半圆周），我们需要完成圆周并考虑整个圆，然后减去直线段$OA$的积分。
首先，让我们识别$L$和$M$：
\[
L = y + 2xy, \quad M = x^2 + 2x + y^2.
\]
计算偏导数：
\[
\frac{\partial M}{\partial x} = 2x + 2, \quad \frac{\partial L}{\partial y} = 1 + 2x.
\]
因此，格林定理的被积函数为：
\[
\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} = (2x + 2) - (1 + 2x) = 1.
\]
现在，我们对圆盘$D$（半径为2，中心在$(2,0)$）的上半部分进行积分：
\[
\iint_D 1 \, dA.
\]
这个积分仅仅是区域$D$的面积，即半径为2的圆的面积的一半：
\[
\text{面积} = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi.
\]
接下来，我们需要从直线段$OA$的积分中减去。直线段$OA$是x轴从4到0，因此$y = 0$和$dy = 0$。积分变为：
\[
\int_{4}^{0} (0 + 2x \cdot 0) \, dx + (x^2 + 2x + 0^2) \cdot 0 = \int_{4}^{0} 0 \, dx = 0.
\]
因此，原始线积分的值是圆盘上半部分的面积：
\[
\int_{L} (y + 2xy) \, dx + (x^2 + 2x + y^2) \, dy = 2\pi.
\]
然而，由于曲线$L$是从$A(4,0)$到$O(0,0)$，我们实际上只考虑了上半圆周，所以答案是：
\[
\boxed{2\pi}.
\]
解析
步骤 1：确定积分路径和被积函数
给定的积分路径$L$是圆$x^{2}+y^{2}=4x$的上半圆周，从点$A(4,0)$到点$O(0,0)$。被积函数为$(y+2xy)dx+(x^{2}+2x+y^{2})dy$。
步骤 2：应用格林定理
格林定理适用于闭合曲线，但我们的路径$L$不是闭合的。为了应用格林定理，我们需要考虑整个圆周并减去直线段$OA$的积分。首先，我们计算格林定理中的偏导数：
\[
\frac{\partial M}{\partial x} = 2x + 2, \quad \frac{\partial L}{\partial y} = 1 + 2x.
\]
因此，格林定理的被积函数为：
\[
\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} = (2x + 2) - (1 + 2x) = 1.
\]
步骤 3：计算圆盘上半部分的面积
由于格林定理的被积函数为1，积分值等于圆盘上半部分的面积。圆的半径为2，中心在$(2,0)$，因此上半圆的面积为：
\[
\text{面积} = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi.
\]
步骤 4：计算直线段$OA$的积分
直线段$OA$是x轴从4到0，因此$y = 0$和$dy = 0$。积分变为：
\[
\int_{4}^{0} (0 + 2x \cdot 0) \, dx + (x^2 + 2x + 0^2) \cdot 0 = \int_{4}^{0} 0 \, dx = 0.
\]
步骤 5：计算原始线积分的值
原始线积分的值是圆盘上半部分的面积减去直线段$OA$的积分：
\[
\int_{L} (y + 2xy) \, dx + (x^2 + 2x + y^2) \, dy = 2\pi - 0 = 2\pi.
\]
给定的积分路径$L$是圆$x^{2}+y^{2}=4x$的上半圆周，从点$A(4,0)$到点$O(0,0)$。被积函数为$(y+2xy)dx+(x^{2}+2x+y^{2})dy$。
步骤 2：应用格林定理
格林定理适用于闭合曲线，但我们的路径$L$不是闭合的。为了应用格林定理，我们需要考虑整个圆周并减去直线段$OA$的积分。首先，我们计算格林定理中的偏导数：
\[
\frac{\partial M}{\partial x} = 2x + 2, \quad \frac{\partial L}{\partial y} = 1 + 2x.
\]
因此，格林定理的被积函数为：
\[
\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} = (2x + 2) - (1 + 2x) = 1.
\]
步骤 3：计算圆盘上半部分的面积
由于格林定理的被积函数为1，积分值等于圆盘上半部分的面积。圆的半径为2，中心在$(2,0)$，因此上半圆的面积为：
\[
\text{面积} = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi.
\]
步骤 4：计算直线段$OA$的积分
直线段$OA$是x轴从4到0，因此$y = 0$和$dy = 0$。积分变为：
\[
\int_{4}^{0} (0 + 2x \cdot 0) \, dx + (x^2 + 2x + 0^2) \cdot 0 = \int_{4}^{0} 0 \, dx = 0.
\]
步骤 5：计算原始线积分的值
原始线积分的值是圆盘上半部分的面积减去直线段$OA$的积分：
\[
\int_{L} (y + 2xy) \, dx + (x^2 + 2x + y^2) \, dy = 2\pi - 0 = 2\pi.
\]