例 16 求 int dfrac (x+2)(sqrt [3]{2x+1)}dx.

考查要点：本题主要考查有理函数积分中的变量替换法，特别是如何通过适当的代换消去根式，将复杂积分转化为多项式积分。

解题核心思路：

1. 观察被积函数结构：分母为三次根式$\sqrt[3]{2x+1}$，分子为$x+2$，直接积分困难。
2. 变量替换：令$t = \sqrt[3]{2x+1}$，将根式转化为多项式形式，简化积分表达式。
3. 代数变形：将$x$和$dx$用$t$表示，代入原积分后展开并化简，转化为关于$t$的多项式积分。
4. 回代变量：积分完成后，将结果中的$t$替换回原变量$x$。

破题关键点：

• 选择合适的替换变量，消去根式，使积分表达式简化。
• 正确计算$dx$的表达式，确保代换过程无误。
• 代数运算的准确性，避免合并项或展开时出错。

变量替换：
令$t = \sqrt[3]{2x+1}$，则$t^3 = 2x+1$，解得$x = \dfrac{t^3 - 1}{2}$。
对$x$求导得：
$dx = \dfrac{3t^2}{2} dt.$

分子变形：
将$x+2$用$t$表示：
$x + 2 = \dfrac{t^3 - 1}{2} + 2 = \dfrac{t^3 + 3}{2}.$

代入积分式：
原积分变为：
$\begin{aligned}\int \dfrac{x+2}{\sqrt[3]{2x+1}} dx &= \int \dfrac{\dfrac{t^3 + 3}{2}}{t} \cdot \dfrac{3t^2}{2} dt \\&= \int \dfrac{(t^3 + 3) \cdot 3t^2}{4t} dt \\&= \dfrac{3}{4} \int (t^4 + 3t) dt.\end{aligned}$

积分计算：
分别对$t^4$和$3t$积分：
$\begin{aligned}\dfrac{3}{4} \int (t^4 + 3t) dt &= \dfrac{3}{4} \left( \dfrac{t^5}{5} + \dfrac{3t^2}{2} \right) + C \\&= \dfrac{3}{20} t^5 + \dfrac{9}{8} t^2 + C.\end{aligned}$

回代变量：
将$t = \sqrt[3]{2x+1}$代回，得：
$\dfrac{3}{20} (2x+1)^{\dfrac{5}{3}} + \dfrac{9}{8} (2x+1)^{\dfrac{2}{3}} + C.$