题目
某市举办足球邀请赛,共有9个球队报名参加,其中包含上届比赛的前3名球队。现将这9个球队通过抽签的方式平均分成3组进行单循环比赛,则上届比赛的前3名球队被分在同一组的概率是:A. 1/21B. 1/28C. 1/63D. 1/84
某市举办足球邀请赛,共有9个球队报名参加,其中包含上届比赛的前3名球队。现将这9个球队通过抽签的方式平均分成3组进行单循环比赛,则上届比赛的前3名球队被分在同一组的概率是:
A. 1/21
B. 1/28
C. 1/63
D. 1/84
题目解答
答案
B. 1/28
解析
步骤 1:计算总的分组方式
首先,我们需要计算将9个球队平均分成3组的总方法数。由于每组有3个球队,我们可以使用组合数来计算。首先,从9个球队中选择3个球队的方法数为C(9,3),然后从剩下的6个球队中选择3个球队的方法数为C(6,3),最后剩下的3个球队自动组成最后一组。但是,由于这三组是无序的,所以需要除以3!来消除重复计数。因此,总的分组方式为:
\[ \frac{C(9,3) \times C(6,3)}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!}}{3!} = \frac{84 \times 20}{6} = 280 \]
步骤 2:计算前3名球队被分在同一组的方法数
接下来,我们需要计算前3名球队被分在同一组的方法数。如果前3名球队被分在同一组,那么剩下的6个球队需要分成2组,每组3个球队。这可以通过组合数C(6,3)来计算,然后除以2!来消除重复计数。因此,前3名球队被分在同一组的方法数为:
\[ \frac{C(6,3)}{2!} = \frac{\frac{6!}{3!3!}}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]
步骤 3:计算概率
最后,我们计算前3名球队被分在同一组的概率。这可以通过将前3名球队被分在同一组的方法数除以总的分组方式来计算。因此,概率为:
\[ \frac{10}{280} = \frac{1}{28} \]
首先,我们需要计算将9个球队平均分成3组的总方法数。由于每组有3个球队,我们可以使用组合数来计算。首先,从9个球队中选择3个球队的方法数为C(9,3),然后从剩下的6个球队中选择3个球队的方法数为C(6,3),最后剩下的3个球队自动组成最后一组。但是,由于这三组是无序的,所以需要除以3!来消除重复计数。因此,总的分组方式为:
\[ \frac{C(9,3) \times C(6,3)}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!}}{3!} = \frac{84 \times 20}{6} = 280 \]
步骤 2:计算前3名球队被分在同一组的方法数
接下来,我们需要计算前3名球队被分在同一组的方法数。如果前3名球队被分在同一组,那么剩下的6个球队需要分成2组,每组3个球队。这可以通过组合数C(6,3)来计算,然后除以2!来消除重复计数。因此,前3名球队被分在同一组的方法数为:
\[ \frac{C(6,3)}{2!} = \frac{\frac{6!}{3!3!}}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]
步骤 3:计算概率
最后,我们计算前3名球队被分在同一组的概率。这可以通过将前3名球队被分在同一组的方法数除以总的分组方式来计算。因此,概率为:
\[ \frac{10}{280} = \frac{1}{28} \]