题目
1 已知随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ) x,0leqslant xlt 1, 2-x,1leqslant xlt 2, 0, .
题目解答
答案
解析
步骤 1：求分布函数F(x)
分布函数F(x)定义为随机变量X小于等于x的概率，即 $F(x) = P(X \leq x)$。根据概率密度函数f(x)的定义，我们可以分段求解F(x)。
- 当x<0时，f(x)=0，所以F(x)=0。
- 当0≤x<1时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} t dt = \frac{x^2}{2}$。
- 当1≤x<2时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{1} t dt + \int_{1}^{x} (2-t) dt = \frac{1}{2} + [2x - \frac{x^2}{2} - 1] = 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}$。
- 当x≥2时，f(x)=0，所以F(x)=1。
步骤 2：求 $P\{ X\lt 0.5\}$
$P\{ X\lt 0.5\} = F(0.5) = \frac{0.5^2}{2} = \frac{1}{8}$。
步骤 3：求 $P\{ X\gt 1.3\}$
$P\{ X\gt 1.3\} = 1 - P\{ X\leq 1.3\} = 1 - F(1.3) = 1 - (2 \times 1.3 - \frac{1.3^2}{2} - \frac{1}{2}) = 1 - (2.6 - 0.845 - 0.5) = 1 - 1.255 = 0.745$。
步骤 4：求 $P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\}$
$P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\} = F(1.2) - F(0.2) = (2 \times 1.2 - \frac{1.2^2}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{0.2^2}{2} = (2.4 - 0.72 - 0.5) - 0.02 = 1.18 - 0.02 = 1.16$。
分布函数F(x)定义为随机变量X小于等于x的概率，即 $F(x) = P(X \leq x)$。根据概率密度函数f(x)的定义，我们可以分段求解F(x)。
- 当x<0时，f(x)=0，所以F(x)=0。
- 当0≤x<1时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} t dt = \frac{x^2}{2}$。
- 当1≤x<2时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{1} t dt + \int_{1}^{x} (2-t) dt = \frac{1}{2} + [2x - \frac{x^2}{2} - 1] = 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}$。
- 当x≥2时，f(x)=0，所以F(x)=1。
步骤 2：求 $P\{ X\lt 0.5\}$
$P\{ X\lt 0.5\} = F(0.5) = \frac{0.5^2}{2} = \frac{1}{8}$。
步骤 3：求 $P\{ X\gt 1.3\}$
$P\{ X\gt 1.3\} = 1 - P\{ X\leq 1.3\} = 1 - F(1.3) = 1 - (2 \times 1.3 - \frac{1.3^2}{2} - \frac{1}{2}) = 1 - (2.6 - 0.845 - 0.5) = 1 - 1.255 = 0.745$。
步骤 4：求 $P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\}$
$P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\} = F(1.2) - F(0.2) = (2 \times 1.2 - \frac{1.2^2}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{0.2^2}{2} = (2.4 - 0.72 - 0.5) - 0.02 = 1.18 - 0.02 = 1.16$。