1 已知随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ) x,0leqslant xlt 1, 2-x,1leqslant xlt 2, 0, .
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查概率密度函数与分布函数的关系，以及分段概率密度函数下概率的计算。
解题核心思路：
- 分布函数F(x)的求解需根据概率密度函数分段积分，注意不同区间的积分上下限。
- 计算概率时，利用分布函数的差值或直接积分概率密度函数，需特别注意积分区间的划分。
破题关键点：
- 分段处理：概率密度函数分三段，分布函数需分四个区间讨论。
- 积分计算：在计算分布函数时，不同区间的积分表达式不同，需逐步累加。
- 概率转换：利用$P(X > a) = 1 - F(a)$，以及$P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$简化计算。
(1) 求分布函数$F(x)$
分布函数定义为$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$，分段讨论：
当$x < 0$时：
积分区间内$f(t) = 0$，故：
$F(x) = 0$
当$0 \leq x < 1$时：
积分区间为$[0, x]$，此时$f(t) = t$：
$F(x) = \int_0^x t \, dt = \frac{1}{2}x^2$
当$1 \leq x < 2$时：
积分分为两部分：$[0, 1]$和$[1, x]$：
$\begin{aligned}F(x) &= \int_0^1 t \, dt + \int_1^x (2 - t) \, dt \\&= \frac{1}{2}(1)^2 + \left[ 2t - \frac{1}{2}t^2 \right]_1^x \\&= \frac{1}{2} + \left( 2x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2} \right) \\&= 2x - \frac{1}{2}x^2 - 1\end{aligned}$
当$x \geq 2$时：
积分覆盖整个概率密度非零区域，故：
$F(x) = 1$
综上，分布函数为：
$F(x) =
\begin{cases}0, & x < 0, \\\frac{1}{2}x^2, & 0 \leq x < 1, \\2x - \frac{1}{2}x^2 - 1, & 1 \leq x < 2, \\1, & x \geq 2.\end{cases}$
(2) 求概率$P\{X < 0.5\}$，$P\{X > 1.3\}$，$P\{0.2 < X \leq 1.2\}$
$P\{X < 0.5\}$：
直接代入分布函数$F(0.5)$：
$F(0.5) = \frac{1}{2}(0.5)^2 = 0.125$
$P\{X > 1.3\}$：
利用$P(X > a) = 1 - F(a)$：
$\begin{aligned}F(1.3) &= 2(1.3) - \frac{1}{2}(1.3)^2 - 1 \\&= 2.6 - 0.845 - 1 = 0.755, \\P(X > 1.3) &= 1 - 0.755 = 0.245.\end{aligned}$
$P\{0.2 < X \leq 1.2\}$：
利用$F(1.2) - F(0.2)$：
$\begin{aligned}F(1.2) &= 2(1.2) - \frac{1}{2}(1.2)^2 - 1 = 0.68, \\F(0.2) &= \frac{1}{2}(0.2)^2 = 0.02, \\P(0.2 < X \leq 1.2) &= 0.68 - 0.02 = 0.66.\end{aligned}$