题目
求曲面z=x^2+y^2在点(1,1,2)处的切平面方程.
求曲面$$z=$$$$x^2$$+$$y^2$$在点(1,1,2)处的切平面方程.
题目解答
答案
解：由$$z=$$$$x^2$$+$$y^2$$，得：F(x、y、z)=$$z-$$$$x^2$$-$$y^2$$
F(x、y、z)分别对x、y、z求偏导得到：法向量n=(-2x,-2y,1)
带入点(1,1,2)得：
n=(-2,-2,1)
所以：-2(x-1)-2(y-1)+(z-2)=0
化简得：2x+2y-z-2=0
解析
步骤 1：确定曲面方程
给定曲面方程为$$z=$$$$x^2$$+$$y^2$$，可以将其重写为$$F(x,y,z) = z - x^2 - y^2$$。
步骤 2：计算偏导数
计算函数$$F(x,y,z)$$对$$x$$、$$y$$、$$z$$的偏导数，得到法向量$$\vec{n}$$。
$$\frac{\partial F}{\partial x} = -2x$$
$$\frac{\partial F}{\partial y} = -2y$$
$$\frac{\partial F}{\partial z} = 1$$
因此，法向量$$\vec{n} = (-2x, -2y, 1)$$。
步骤 3：代入点(1,1,2)
将点(1,1,2)代入法向量$$\vec{n}$$，得到法向量在该点的值。
$$\vec{n} = (-2(1), -2(1), 1) = (-2, -2, 1)$$。
步骤 4：写出切平面方程
利用点法式方程，写出切平面方程。
$$-2(x-1) - 2(y-1) + (z-2) = 0$$
化简得：$$2x + 2y - z - 2 = 0$$。
给定曲面方程为$$z=$$$$x^2$$+$$y^2$$，可以将其重写为$$F(x,y,z) = z - x^2 - y^2$$。
步骤 2：计算偏导数
计算函数$$F(x,y,z)$$对$$x$$、$$y$$、$$z$$的偏导数，得到法向量$$\vec{n}$$。
$$\frac{\partial F}{\partial x} = -2x$$
$$\frac{\partial F}{\partial y} = -2y$$
$$\frac{\partial F}{\partial z} = 1$$
因此，法向量$$\vec{n} = (-2x, -2y, 1)$$。
步骤 3：代入点(1,1,2)
将点(1,1,2)代入法向量$$\vec{n}$$，得到法向量在该点的值。
$$\vec{n} = (-2(1), -2(1), 1) = (-2, -2, 1)$$。
步骤 4：写出切平面方程
利用点法式方程，写出切平面方程。
$$-2(x-1) - 2(y-1) + (z-2) = 0$$
化简得：$$2x + 2y - z - 2 = 0$$。