题目
求极限 lim _(narrow infty )(dfrac (1)(4)+dfrac (1)(28)+dfrac (1)(70)+... +dfrac (1)(9{n)^2-3n-2}).
题目解答
答案
解析
步骤 1：观察通项公式
观察给出的数列 $\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{28}+\dfrac {1}{70}+\cdots +\dfrac {1}{9{n}^{2}-3n-2}$，可以发现通项公式为 $\dfrac {1}{9{n}^{2}-3n-2}$。我们首先需要将通项公式进行分解，以便于求和。
步骤 2：分解通项公式
将通项公式 $\dfrac {1}{9{n}^{2}-3n-2}$ 分解为部分分式。注意到 $9{n}^{2}-3n-2=(3n-2)(3n+1)$，因此可以将通项公式写为 $\dfrac {1}{(3n-2)(3n+1)}$。进一步分解为 $\dfrac {1}{3}(\dfrac {1}{3n-2}-\dfrac {1}{3n+1})$。
步骤 3：求和
将通项公式分解后，可以发现这是一个部分分式求和问题。将数列的每一项写成 $\dfrac {1}{3}(\dfrac {1}{3n-2}-\dfrac {1}{3n+1})$ 的形式，然后进行求和。由于每一项的后一项与前一项的后一项相消，因此求和后只剩下第一项的前一项和最后一项的后一项。即 $\dfrac {1}{3}(1-\dfrac {1}{3n+1})$。
步骤 4：求极限
求出数列的和后，需要求出当 $n\rightarrow \infty$ 时的极限。将求和结果 $\dfrac {1}{3}(1-\dfrac {1}{3n+1})$ 代入 $n\rightarrow \infty$，可以发现 $\dfrac {1}{3n+1}$ 趋于 $0$，因此极限为 $\dfrac {1}{3}$。
观察给出的数列 $\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{28}+\dfrac {1}{70}+\cdots +\dfrac {1}{9{n}^{2}-3n-2}$，可以发现通项公式为 $\dfrac {1}{9{n}^{2}-3n-2}$。我们首先需要将通项公式进行分解，以便于求和。
步骤 2：分解通项公式
将通项公式 $\dfrac {1}{9{n}^{2}-3n-2}$ 分解为部分分式。注意到 $9{n}^{2}-3n-2=(3n-2)(3n+1)$，因此可以将通项公式写为 $\dfrac {1}{(3n-2)(3n+1)}$。进一步分解为 $\dfrac {1}{3}(\dfrac {1}{3n-2}-\dfrac {1}{3n+1})$。
步骤 3：求和
将通项公式分解后，可以发现这是一个部分分式求和问题。将数列的每一项写成 $\dfrac {1}{3}(\dfrac {1}{3n-2}-\dfrac {1}{3n+1})$ 的形式，然后进行求和。由于每一项的后一项与前一项的后一项相消，因此求和后只剩下第一项的前一项和最后一项的后一项。即 $\dfrac {1}{3}(1-\dfrac {1}{3n+1})$。
步骤 4：求极限
求出数列的和后，需要求出当 $n\rightarrow \infty$ 时的极限。将求和结果 $\dfrac {1}{3}(1-\dfrac {1}{3n+1})$ 代入 $n\rightarrow \infty$，可以发现 $\dfrac {1}{3n+1}$ 趋于 $0$，因此极限为 $\dfrac {1}{3}$。