求极限 lim _(narrow infty )(dfrac (1)(4)+dfrac (1)(28)+dfrac (1)(70)+... +dfrac (1)(9{n)^2-3n-2}).

考查要点：本题主要考查数列求和中的裂项相消法，以及利用极限求和的方法处理无穷级数。

解题核心思路：

1. 分解分母：将分母 $9k^2 -3k -2$ 分解为两个一次因式的乘积，便于拆分。
2. 部分分式分解：将分式拆分为两个分数的差，构造望远镜效应，使中间项相互抵消。
3. 求和化简：通过逐项抵消得到前$n$项和的表达式，最后取极限。

破题关键点：

• 正确分解分母是裂项的前提，需验证分解结果是否正确。
• 部分分式系数的求解需通过方程组确定，确保拆分后的形式与原式等价。
• 观察抵消规律，明确剩余项的表达式，避免计算错误。

分解分母

分母 $9k^2 -3k -2$ 可分解为：
$9k^2 -3k -2 = (3k+1)(3k-2).$

部分分式分解

将 $\dfrac{1}{(3k+1)(3k-2)}$ 拆分为：
$\dfrac{1}{(3k+1)(3k-2)} = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{3k-2} - \dfrac{1}{3k+1} \right).$

求和展开

原式可展开为：
$\begin{aligned}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{9k^2 -3k -2} &= \dfrac{1}{3} \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{1}{3k-2} - \dfrac{1}{3k+1} \right) \\&= \dfrac{1}{3} \left[ \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{3n-2} - \dfrac{1}{3n+1}\right) \right].\end{aligned}$

望远镜效应

中间项 $\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{7}, \ldots, \dfrac{1}{3n-2}$ 相互抵消，剩余首项 $1$ 和末项 $-\dfrac{1}{3n+1}$：
$\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{9k^2 -3k -2} = \dfrac{1}{3} \left( 1 - \dfrac{1}{3n+1} \right).$

取极限

当 $n \to \infty$ 时，$\dfrac{1}{3n+1} \to 0$，故极限值为：
$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{3} \left( 1 - \dfrac{1}{3n+1} \right) = \dfrac{1}{3}.$