题目
求方程dfrac (dy)(dx)-dfrac (2y)(x+2)=((x+2))^dfrac (5{2)}的通解
求方程
的通解
题目解答
答案
对于微分方程：
通解为：
对于方程
代入求解，
解析
步骤 1：识别方程类型
方程$\dfrac {dy}{dx}-\dfrac {2y}{x+2}={(x+2)}^{\dfrac {5}{2}}$是一个一阶线性微分方程，形式为$\dfrac {dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)=-\dfrac {2}{x+2}$，$Q(x)={(x+2)}^{\dfrac {5}{2}}$。
步骤 2：求解积分因子
积分因子为$e^{\int P(x)dx}$，代入$P(x)$得$e^{\int -\dfrac {2}{x+2}dx}$。计算积分，得$e^{-2\ln|x+2|}=e^{\ln{(x+2)}^{-2}}={(x+2)}^{-2}$。
步骤 3：应用积分因子
将积分因子乘以原方程，得${(x+2)}^{-2}\dfrac {dy}{dx}-\dfrac {2y{(x+2)}^{-2}}{x+2}={(x+2)}^{\dfrac {5}{2}}{(x+2)}^{-2}$。简化得$\dfrac {d}{dx}({(x+2)}^{-2}y)={(x+2)}^{\dfrac {1}{2}}$。
步骤 4：积分求解
对等式两边积分，得${(x+2)}^{-2}y=\int{(x+2)}^{\dfrac {1}{2}}dx$。计算积分，得${(x+2)}^{-2}y=\dfrac {2}{3}{(x+2)}^{\dfrac {3}{2}}+C$。
步骤 5：求解$y$
将${(x+2)}^{-2}y=\dfrac {2}{3}{(x+2)}^{\dfrac {3}{2}}+C$两边乘以${(x+2)}^{2}$，得$y=\dfrac {2}{3}{(x+2)}^{3}+C{(x+2)}^{2}$。
方程$\dfrac {dy}{dx}-\dfrac {2y}{x+2}={(x+2)}^{\dfrac {5}{2}}$是一个一阶线性微分方程，形式为$\dfrac {dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)=-\dfrac {2}{x+2}$，$Q(x)={(x+2)}^{\dfrac {5}{2}}$。
步骤 2：求解积分因子
积分因子为$e^{\int P(x)dx}$，代入$P(x)$得$e^{\int -\dfrac {2}{x+2}dx}$。计算积分，得$e^{-2\ln|x+2|}=e^{\ln{(x+2)}^{-2}}={(x+2)}^{-2}$。
步骤 3：应用积分因子
将积分因子乘以原方程，得${(x+2)}^{-2}\dfrac {dy}{dx}-\dfrac {2y{(x+2)}^{-2}}{x+2}={(x+2)}^{\dfrac {5}{2}}{(x+2)}^{-2}$。简化得$\dfrac {d}{dx}({(x+2)}^{-2}y)={(x+2)}^{\dfrac {1}{2}}$。
步骤 4：积分求解
对等式两边积分，得${(x+2)}^{-2}y=\int{(x+2)}^{\dfrac {1}{2}}dx$。计算积分，得${(x+2)}^{-2}y=\dfrac {2}{3}{(x+2)}^{\dfrac {3}{2}}+C$。
步骤 5：求解$y$
将${(x+2)}^{-2}y=\dfrac {2}{3}{(x+2)}^{\dfrac {3}{2}}+C$两边乘以${(x+2)}^{2}$，得$y=\dfrac {2}{3}{(x+2)}^{3}+C{(x+2)}^{2}$。