2. 设二维随机变量(UND,Y)的联合密度为-|||-f(x,y)= f Ae^(-2x-3y) (0Y), (Xgt 2Y|Xgt Y)-|||-(4)判断X与Y的独立性。

步骤 1：求常数A
根据联合密度函数的性质，联合密度函数在整个定义域上的积分应等于1。因此，我们有：
$$
\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}Ae^{-2x-3y}dxdy=1
$$
计算该积分，得到：
$$
A\int_{0}^{+\infty}e^{-2x}dx\int_{0}^{+\infty}e^{-3y}dy=1
$$
$$
A\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{3}\right)=1
$$
$$
A=6
$$
步骤 2：求(X,Y)的联合分布函数
联合分布函数定义为：
$$
F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)dudv
$$
对于给定的联合密度函数，我们有：
$$
F(x,y)=\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}6e^{-2u-3v}dudv
$$
计算该积分，得到：
$$
F(x,y)=\left(1-e^{-2x}\right)\left(1-e^{-3y}\right),\quad x>0,y>0
$$
步骤 3：计算概率 $P(X+Y<2)$
$$
P(X+Y<2)=\int_{0}^{2}\int_{0}^{2-x}6e^{-2x-3y}dydx
$$
计算该积分，得到：
$$
P(X+Y<2)=2e^{-2}-3e^{-4}+1
$$
步骤 4：计算概率 $P(X>Y)$
$$
P(X>Y)=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{x}6e^{-2x-3y}dydx
$$
计算该积分，得到：
$$
P(X>Y)=\frac{3}{5}
$$
步骤 5：计算条件概率 $P(X>2Y|X>Y)$
$$
P(X>2Y|X>Y)=\frac{P(X>2Y,X>Y)}{P(X>Y)}
$$
计算分子和分母，得到：
$$
P(X>2Y,X>Y)=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{\frac{x}{2}}6e^{-2x-3y}dydx=\frac{3}{7}
$$
$$
P(X>2Y|X>Y)=\frac{\frac{3}{7}}{\frac{3}{5}}=\frac{5}{7}
$$
步骤 6：判断X与Y的独立性
根据联合分布函数，我们有：
$$
F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)
$$
其中，$F_X(x)$和$F_Y(y)$分别是X和Y的边缘分布函数。因此，X和Y是独立的。