题目
已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，A.D=2，CD=2B.D．当((AC.))/((AB))取得最小值时，BD.= ____ ．
已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，
A.D=2，CD=2
B.D．当$\frac{{A
C.}}{{AB}}$取得最小值时，B
D.= ____ ．
A.D=2，CD=2
B.D．当$\frac{{A
C.}}{{AB}}$取得最小值时，B
D.= ____ ．
题目解答
答案
解：设BD=x，CD=2x，
在三角形ACD中，b2=4x2+4-2•2x•2•cos60°，可得：b2=4x2-4x+4，
在三角形ABD中，c2=x2+4-2•x•2•cos120°，可得：c2=x2+2x+4，
要使得$\frac{AC}{AB}$最小，即$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$最小，
$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}=\frac{4{x}^{2}-4x+4}{{x}^{2}+2x+4}=4-\frac{12}{x+1+\frac{3}{x+1}}$，
其中$x+1+\frac{3}{x+1}≥2\sqrt{3}$，此时$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}≥4-2\sqrt{3}$，
当且仅当$x+1=\sqrt{3}$时，即$x=\sqrt{3}-1$时取等号，
故答案为：$\sqrt{3}-1$．
在三角形ACD中，b2=4x2+4-2•2x•2•cos60°，可得：b2=4x2-4x+4，
在三角形ABD中，c2=x2+4-2•x•2•cos120°，可得：c2=x2+2x+4，
要使得$\frac{AC}{AB}$最小，即$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$最小，
$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}=\frac{4{x}^{2}-4x+4}{{x}^{2}+2x+4}=4-\frac{12}{x+1+\frac{3}{x+1}}$，
其中$x+1+\frac{3}{x+1}≥2\sqrt{3}$，此时$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}≥4-2\sqrt{3}$，
当且仅当$x+1=\sqrt{3}$时，即$x=\sqrt{3}-1$时取等号，
故答案为：$\sqrt{3}-1$．