题目
(-3+4i)=ln 5+i(2kpi +pi -arctan dfrac (4)(3))-|||-A.对-|||-B.错 二
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查复数对数函数的定义及辐角的计算。
解题核心思路：
- 复数对数的多值性：复数的自然对数形式为 $\ln(z) = \ln|z| + i(\arg z + 2k\pi)$，其中 $k$ 为整数，$\arg z$ 是复数的辐角主值。
- 模长与辐角的计算：需正确计算复数 $-3+4i$ 的模长和辐角。
破题关键点：
- 模长：直接计算 $|-3+4i| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$。
- 辐角：复数位于第二象限，辐角主值为 $\pi - \arctan\left(\dfrac{4}{3}\right)$，而非 $\dfrac{\pi}{3}$。
-
计算模长：
$|-3+4i| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$
因此，$\ln| -3+4i | = \ln 5$，与题目等式左边一致。 -
计算辐角：
复数 $-3+4i$ 的实部为负，虚部为正，位于第二象限。- 参考角：$\arctan\left(\dfrac{4}{3}\right)$ 是第一象限的角度。
- 实际辐角：需补足到第二象限，即 $\pi - \arctan\left(\dfrac{4}{3}\right)$。
-
复数对数的多值性：
复数对数的通式为：
$\ln(-3+4i) = \ln 5 + i\left(2k\pi + \pi - \arctan\left(\dfrac{4}{3}\right)\right), \quad k \in \mathbb{Z}.$
题目等式右侧与此一致，因此 等式正确。