题目

例1.3.1 已知 =(e)_(x)(x-x')+(e)_(y)(y-y')+(e)_(2)(z-z') ,R=|R| 。证-|||-明:-|||-(1) =dfrac (R)(R)-|||-;(2) nabla (dfrac (1)(R))=-dfrac (R)({R)^3}-|||-;(3) nabla f(R)=-nabla 'f(R) o-|||-其中: =(e)_(x)dfrac (partial )(partial x)+(e)_(y)dfrac (partial )(partial y)+(e)_(z)dfrac (partial )(partial z) 表示对x、y、z的运算, '=(e)_(x)dfrac (partial )(partial x')+(e)_(y)dfrac (partial )(partial y')+-|||-_(2)dfrac (partial )(partial z) 表示对x'、y'、z'的运算。

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查向量场的梯度运算，涉及空间点的坐标变换及链式法则的应用。
解题思路：

  1. 梯度定义：明确梯度是对场点（x, y, z）求偏导，而源点（x', y', z'）的梯度需对偶处理。
  2. 链式法则：将复合函数的导数分解为标量函数导数与向量梯度的乘积。
  3. 符号处理：注意对源点坐标求导时，偏导数的符号与场点相反。

第（1）题

目标：证明 $\nabla R = \dfrac{\mathbf{R}}{R}$

计算梯度分量

由 $R = \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}$，对场点坐标求偏导：
$\frac{\partial R}{\partial x} = \frac{x - x'}{R}, \quad \frac{\partial R}{\partial y} = \frac{y - y'}{R}, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{z - z'}{R}$

组合梯度向量

$\nabla R = \mathbf{e}_x \frac{\partial R}{\partial x} + \mathbf{e}_y \frac{\partial R}{\partial y} + \mathbf{e}_z \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{1}{R} \left[ (x-x')\mathbf{e}_x + (y-y')\mathbf{e}_y + (z-z')\mathbf{e}_z \right] = \frac{\mathbf{R}}{R}$

第（2）题

目标：证明 $\nabla \left( \dfrac{1}{R} \right) = -\dfrac{\mathbf{R}}{R^3}$

应用链式法则

令 $f(R) = \dfrac{1}{R}$，则 $f'(R) = -\dfrac{1}{R^2}$，结合第（1）题结果：
$\nabla f(R) = f'(R) \cdot \nabla R = -\frac{1}{R^2} \cdot \frac{\mathbf{R}}{R} = -\frac{\mathbf{R}}{R^3}$

第（3）题

目标：证明 $\nabla f(R) = -\nabla' f(R)$

对场点求梯度

$\nabla f(R) = f'(R) \cdot \nabla R = f'(R) \cdot \frac{\mathbf{R}}{R}$

对源点求梯度

对源点坐标求偏导时，符号相反：
$\nabla' R = \frac{\partial R}{\partial x'} \mathbf{e}_x + \frac{\partial R}{\partial y'} \mathbf{e}_y + \frac{\partial R}{\partial z'} \mathbf{e}_z = -\frac{\mathbf{R}}{R}$
因此：
$\nabla' f(R) = f'(R) \cdot \nabla' R = f'(R) \cdot \left( -\frac{\mathbf{R}}{R} \right)$

结论

$\nabla f(R) = f'(R) \cdot \frac{\mathbf{R}}{R} = - \left( f'(R) \cdot \left( -\frac{\mathbf{R}}{R} \right) \right) = -\nabla' f(R)$