极限 lim_(x to 0) ( x sin (1)/(x) - (1)/(x) sin x ) 的结果是（ ）。A. 0B. 1C. -1D. 不存在

考查要点：本题主要考查极限的运算，特别是涉及三角函数与无穷小量的乘积、重要极限公式的应用。

解题核心思路：

1. 拆分表达式：将原式拆分为两个部分分别求极限，再合并结果。
2. 分析每一项的极限行为：
   • 第一项：利用有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小的性质。
   • 第二项：应用重要极限公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
3. 合并结果：若两个极限均存在，则差的极限等于极限的差。

破题关键点：

• 正确识别第一项中 $\sin \frac{1}{x}$ 的有界性，避免误判为极限不存在。
• 灵活运用重要极限公式简化第二项的计算。

第一步：分析第一项 $x \sin \frac{1}{x}$ 的极限

• 有界性：$\sin \frac{1}{x}$ 的取值范围始终在 $[-1, 1]$ 内，即 $|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$。
• 无穷小量乘积：当 $x \to 0$ 时，$x$ 是无穷小量，因此：
  $\left| x \sin \frac{1}{x} \right| \leq |x| \to 0$
  根据夹逼定理，得：
  $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$

第二步：分析第二项 $\frac{1}{x} \sin x$ 的极限

• 重要极限公式：直接应用 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，得：
  $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \sin x = 1$

第三步：合并两个极限

将两部分的极限结果相减：
$\lim_{x \to 0} \left( x \sin \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \sin x \right) = 0 - 1 = -1$