题目
8.求曲面 ^z-z+xy=3 在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
令 $F(x,y,z)={e}^{x}-z+xy-3$，则曲面方程可以表示为 $F(x,y,z)=0$。
步骤 2：计算梯度
计算函数 $F(x,y,z)$ 的梯度 $\nabla F(x,y,z)$，即 $\nabla F(x,y,z) = (F_x, F_y, F_z)$，其中 $F_x, F_y, F_z$ 分别表示 $F$ 对 $x, y, z$ 的偏导数。
步骤 3：计算梯度在点(2,1,0)处的值
将点(2,1,0)代入梯度 $\nabla F(x,y,z)$，得到 $\nabla F(2,1,0)$。
步骤 4：计算切平面方程
根据梯度 $\nabla F(2,1,0)$，可以得到切平面方程为 $\nabla F(2,1,0) \cdot (x-2, y-1, z-0) = 0$。
步骤 5：计算法线方程
根据梯度 $\nabla F(2,1,0)$，可以得到法线方程为 $\dfrac{x-2}{F_x(2,1,0)} = \dfrac{y-1}{F_y(2,1,0)} = \dfrac{z-0}{F_z(2,1,0)}$。
令 $F(x,y,z)={e}^{x}-z+xy-3$，则曲面方程可以表示为 $F(x,y,z)=0$。
步骤 2：计算梯度
计算函数 $F(x,y,z)$ 的梯度 $\nabla F(x,y,z)$，即 $\nabla F(x,y,z) = (F_x, F_y, F_z)$，其中 $F_x, F_y, F_z$ 分别表示 $F$ 对 $x, y, z$ 的偏导数。
步骤 3：计算梯度在点(2,1,0)处的值
将点(2,1,0)代入梯度 $\nabla F(x,y,z)$，得到 $\nabla F(2,1,0)$。
步骤 4：计算切平面方程
根据梯度 $\nabla F(2,1,0)$，可以得到切平面方程为 $\nabla F(2,1,0) \cdot (x-2, y-1, z-0) = 0$。
步骤 5：计算法线方程
根据梯度 $\nabla F(2,1,0)$，可以得到法线方程为 $\dfrac{x-2}{F_x(2,1,0)} = \dfrac{y-1}{F_y(2,1,0)} = \dfrac{z-0}{F_z(2,1,0)}$。