(本题满分9分)求二元函数(x,y)=(x)^2(2+(y)^2)+yln y的极值

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要求出函数$f(x,y)={x}^{2}(2+{y}^{2})+y\ln y$的偏导数${f}_{x}$和${f}_{y}$。
${f}_{x}=2x(2+{y}^{2})$
${f}_{y}=2{x}^{2}y+\ln y+1$
步骤 2：求驻点
接下来，我们解方程组$\left \{ \begin{matrix} {f}_{x}=2x(2+{y}^{2})=0\\ {f}_{y}=2{x}^{2}y+\ln y+1=0\end{matrix} \right.$来找到函数的驻点。
从${f}_{x}=0$，我们得到$x=0$或$y=\pm i$（其中$i$是虚数单位，但因为$y$是实数，所以$y=\pm i$不是解）。
将$x=0$代入${f}_{y}=0$，得到$\ln y+1=0$，解得$y=\dfrac{1}{e}$。
因此，函数$f(x,y)$的驻点为$(0,\dfrac{1}{e})$。
步骤 3：判断极值
为了判断驻点$(0,\dfrac{1}{e})$是否为极值点，我们需要计算二阶偏导数${f}_{xx}$, ${f}_{xy}$, ${f}_{yy}$，并使用Hessian矩阵的行列式来判断。
${f}_{xx}=2(2+{y}^{2})$
${f}_{xy}=4xy$
${f}_{yy}=2{x}^{2}+\dfrac{1}{y}$
在驻点$(0,\dfrac{1}{e})$处，我们有：
$A={f}_{xx}(0,\dfrac{1}{e})=2(2+\dfrac{1}{{e}^{2}})$
$B={f}_{xy}(0,\dfrac{1}{e})=0$
$C={f}_{yy}(0,\dfrac{1}{e})=e$
计算Hessian矩阵的行列式$H=AC-{B}^{2}$，得到$H=2(2+\dfrac{1}{{e}^{2}})e-0^2=2e(2+\dfrac{1}{{e}^{2}})$。
因为$H>0$且$A>0$，所以驻点$(0,\dfrac{1}{e})$是极小值点。