(2) lim _(narrow infty )dfrac (3n+1)(2n+1)=dfrac (3)(2) ;

步骤 1：等价变形
首先，我们对表达式 $\left|\dfrac{3n+1}{2n+1} - \dfrac{3}{2}\right|$ 进行等价变形，以便于后续的分析和证明。
$$
\left|\dfrac{3n+1}{2n+1} - \dfrac{3}{2}\right| = \left|\dfrac{2(3n+1) - 3(2n+1)}{2(2n+1)}\right| = \left|\dfrac{6n+2 - 6n-3}{4n+2}\right| = \left|\dfrac{-1}{4n+2}\right| = \dfrac{1}{4n+2}
$$
步骤 2：放大不等式
为了找到一个合适的 $N$，使得当 $n > N$ 时，$\dfrac{1}{4n+2} < \varepsilon$ 成立，我们对不等式进行放大。
$$
\dfrac{1}{4n+2} < \dfrac{1}{4n}
$$
步骤 3：求解 $N$
根据放大后的不等式，我们有：
$$
\dfrac{1}{4n} < \varepsilon
$$
解这个不等式，得到：
$$
n > \dfrac{1}{4\varepsilon}
$$
因此，取 $N = \left[\dfrac{1}{4\varepsilon}\right]$，其中 $[\cdot]$ 表示取整函数，即当 $n > N$ 时，$\dfrac{1}{4n+2} < \varepsilon$ 成立。