题目
int_(L)(2x+y), ds = ( )，其中积分曲线 L 为连接 (1,0) 与 (0,2) 两点的直线段。 A 4sqrt(5) B 2sqrt(5) C 3sqrt(5) D sqrt(5)
$\int_{L}(2x+y)\, ds = (\quad)$，其中积分曲线 $L$ 为连接 $(1,0)$ 与 $(0,2)$ 两点的直线段。
A $4\sqrt{5}$
B $2\sqrt{5}$
C $3\sqrt{5}$
D $\sqrt{5}$
题目解答
答案
直线方程为 $y = -2x + 2$。参数化令 $x = 1 - t$，$y = 2t$（$t$ 从 $0$ 到 $1$），则
\[
ds = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} \, dt = \sqrt{5} \, dt, \quad 2x + y = 2.
\]
积分变为
\[
\int_{0}^{1} 2 \cdot \sqrt{5} \, dt = 2\sqrt{5}.
\]
答案：$\boxed{B}$。
解析
步骤 1：确定直线方程
连接 $(1,0)$ 与 $(0,2)$ 两点的直线段的方程为 $y = -2x + 2$。这是因为直线的斜率为 $\frac{2-0}{0-1} = -2$，且通过点 $(1,0)$，所以方程为 $y = -2(x-1) = -2x + 2$。
步骤 2：参数化直线段
为了计算曲线积分，我们首先需要将直线段参数化。令 $x = 1 - t$，$y = 2t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $1$。这样，当 $t=0$ 时，$(x,y)=(1,0)$；当 $t=1$ 时，$(x,y)=(0,2)$，符合题目要求。
步骤 3：计算 $ds$
$ds$ 是曲线上的微小弧长，对于参数化曲线，$ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt$。这里，$\frac{dx}{dt} = -1$，$\frac{dy}{dt} = 2$，所以 $ds = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} \, dt = \sqrt{5} \, dt$。
步骤 4：计算积分
将 $2x + y$ 代入参数化表达式，得到 $2x + y = 2(1-t) + 2t = 2$。因此，原积分变为 $\int_{0}^{1} 2 \cdot \sqrt{5} \, dt = 2\sqrt{5} \int_{0}^{1} dt = 2\sqrt{5} \cdot [t]_{0}^{1} = 2\sqrt{5}$。
连接 $(1,0)$ 与 $(0,2)$ 两点的直线段的方程为 $y = -2x + 2$。这是因为直线的斜率为 $\frac{2-0}{0-1} = -2$，且通过点 $(1,0)$，所以方程为 $y = -2(x-1) = -2x + 2$。
步骤 2：参数化直线段
为了计算曲线积分，我们首先需要将直线段参数化。令 $x = 1 - t$，$y = 2t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $1$。这样，当 $t=0$ 时，$(x,y)=(1,0)$；当 $t=1$ 时，$(x,y)=(0,2)$，符合题目要求。
步骤 3：计算 $ds$
$ds$ 是曲线上的微小弧长，对于参数化曲线，$ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt$。这里，$\frac{dx}{dt} = -1$，$\frac{dy}{dt} = 2$，所以 $ds = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} \, dt = \sqrt{5} \, dt$。
步骤 4：计算积分
将 $2x + y$ 代入参数化表达式，得到 $2x + y = 2(1-t) + 2t = 2$。因此，原积分变为 $\int_{0}^{1} 2 \cdot \sqrt{5} \, dt = 2\sqrt{5} \int_{0}^{1} dt = 2\sqrt{5} \cdot [t]_{0}^{1} = 2\sqrt{5}$。