题目

(5)y=(e^x-e^-x)/(2).

(5)$y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.$

题目解答

答案

设 $ f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} $，其定义域为 $ \mathbb{R} $，关于原点对称。计算 $ f(-x) $： \[ f(-x) = \frac{e^{-x} - e^x}{2} = -\frac{e^x - e^{-x}}{2} = -f(x) \] 由于 $ f(-x) = -f(x) $，函数为奇函数。 答案：$\boxed{\text{奇函数}}$

解析

考查要点：判断函数的奇偶性。
解题核心思路：

  1. 验证定义域是否关于原点对称（本题中定义域为全体实数，满足条件）。
  2. 计算$f(-x)$，并与原函数$f(x)$和$-f(x)$比较，判断是否满足奇函数或偶函数的定义。
    关键点：
  • 奇函数的定义：$f(-x) = -f(x)$。
  • 偶函数的定义：$f(-x) = f(x)$。

设函数$f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$，其定义域为$\mathbb{R}$，关于原点对称。

步骤1：计算$f(-x)$
将$x$替换为$-x$，得：
$f(-x) = \frac{e^{-x} - e^{x}}{2}$

步骤2：化简表达式
观察分子$e^{-x} - e^{x}$，可提取负号：
$e^{-x} - e^{x} = -(e^x - e^{-x})$
因此，
$f(-x) = \frac{-(e^x - e^{-x})}{2} = -\frac{e^x - e^{-x}}{2} = -f(x)$

结论：
由于$f(-x) = -f(x)$，根据奇函数的定义，该函数为奇函数。