幂级数 的收敛区域是 .

考查要点：本题主要考查幂级数的收敛区域求解，涉及收敛半径的计算及端点收敛性判断。

解题核心思路：

1. 确定一般项形式，将幂级数转化为标准形式，便于应用比值法或根值法。
2. 计算收敛半径，通过极限求出收敛区间。
3. 逐一对端点进行收敛性分析，结合级数收敛性判别法（如比较法、莱布尼茨判别法）得出结论。

破题关键点：

• 变量替换简化表达式，将原级数转化为已知收敛性的形式。
• 正确应用比值法求收敛半径，注意极限运算的准确性。
• 端点处级数的判别，区分绝对收敛与条件收敛。

题目：求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 3^n}$ 的收敛区域。

步骤1：确定一般项形式

将一般项化简为：
$a_n = \frac{x^n}{n \cdot 3^n} = \frac{1}{n} \left( \frac{x}{3} \right)^n$
令 $y = \frac{x}{3}$，则级数变为：
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n}$

步骤2：计算收敛半径

应用比值法：
$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{|y|^{n+1}/(n+1)}{|y|^n/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{|y|}{n+1} \cdot \frac{n}{1} = |y|$
当 $|y| < 1$ 时级数绝对收敛，即 $|x/3| < 1$，得收敛半径 $R = 3$，收敛区间为 $(-3, 3)$。

步骤3：判断端点收敛性

• 当 $x = 3$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$（调和级数），发散。
• 当 $x = -3$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$（交错调和级数），由莱布尼茨判别法知条件收敛。