22.(本题满分11分)-|||-设二次型 ((x)_(1)(x)_(2),(x)_(3))=({x)_(1)}^2+({x)_(2)}^2+({x)_(3)}^2+2a(x)_(1)(x)_(2)+2a(x)_(1)(x)_(3 经可逆线性变换-|||-(x1) y1-|||-x1-|||-x2 =P y2 化为二次型 ({y)_(1),(y)_(2),(y)_(3))=({y)_(1)}^2+({y)_(2)}^2+4({y)_(3)}^2+2(y)_(1)(y)_(2) _-|||-x3 y3-|||-(1)求a;-|||-(2)求可逆矩阵P.

考查要点：本题主要考查二次型的标准形、矩阵的秩以及可逆线性变换矩阵的求解。
解题思路：

1. 求参数a：利用二次型矩阵的秩相等条件，通过行列式为零求解。
2. 求可逆矩阵P：通过配方法将二次型化为规范形，联立中间变量的变换矩阵，最终得到P。

破题关键：

• 秩的条件：二次型矩阵A与B的秩相等，通过行列式为零确定a的值。
• 规范形联立：将f和g分别化为相同规范形，通过中间变量联立变换矩阵。

(1) 求a的值

1. 写出二次型矩阵：
   二次型$f$对应的矩阵为：
   $A = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1 \end{pmatrix}$
   二次型$g$对应的矩阵为：
   $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$
   显然$r(B) = 2$，因此$r(A) = 2$。

2. 计算行列式并求解：
   矩阵$A$的行列式为：
   $|A| = 2a^3 - 3a^2 + 1$
   令$|A| = 0$，解得$a = -\dfrac{1}{2}$（舍去$a=1$，因此时$r(A)=1$）。

(2) 求可逆矩阵P

1. 将f化为规范形：
   通过配方法，$f$可化为：
   $f = \left(x_1 - \dfrac{1}{2}x_2 - \dfrac{1}{2}x_3\right)^2 + \dfrac{3}{4}(x_2 - x_3)^2$
   引入变量：
   $\begin{cases} z_1 = x_1 + \dfrac{1}{\sqrt{3}}x_2 + x_3 \\ z_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}(x_2 - x_3) \\ z_3 = x_3 \end{cases}$
   对应变换矩阵$P_1$为：
   $P_1 = \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & 1 \\ 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 将g化为规范形：
   通过变量替换，$g$可化为：
   $g = (y_1 + y_2)^2 + (2y_3)^2$
   引入变量：
   $\begin{cases} z_1 = y_1 + y_2 \\ z_2 = 2y_3 \\ z_3 = y_2 \end{cases}$
   对应变换矩阵$P_2$为：
   $P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

3. 联立变换矩阵：
   最终变换矩阵$P = P_1 P_2^{-1}$，计算得：
   $P = \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & 1 \\ 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & 2 \\ 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$