题目
[题目]求 int dfrac (arctan {e)^x}({e)^2x}dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：代换
设 $u = e^x$，则 $du = e^x dx$，即 $dx = \dfrac{du}{u}$。代入原积分，得到 $\int \dfrac{\arctan u}{u^2} \cdot \dfrac{du}{u} = \int \dfrac{\arctan u}{u^3} du$。
步骤 2：分部积分
使用分部积分法，设 $v = \arctan u$，$dw = \dfrac{1}{u^3} du$，则 $dv = \dfrac{1}{1+u^2} du$，$w = -\dfrac{1}{2u^2}$。根据分部积分公式 $\int v dw = vw - \int w dv$，得到 $\int \dfrac{\arctan u}{u^3} du = -\dfrac{1}{2u^2} \arctan u + \int \dfrac{1}{2u^2} \cdot \dfrac{1}{1+u^2} du$。
步骤 3：简化积分
将上一步得到的积分简化，得到 $\int \dfrac{1}{2u^2} \cdot \dfrac{1}{1+u^2} du = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u^2(1+u^2)} du$。使用部分分式分解，得到 $\dfrac{1}{u^2(1+u^2)} = \dfrac{1}{u^2} - \dfrac{1}{1+u^2}$。因此，$\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u^2(1+u^2)} du = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u^2} du - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{1+u^2} du$。
步骤 4：计算积分
计算两个积分，得到 $\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u^2} du = -\dfrac{1}{2u}$，$\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{1+u^2} du = \dfrac{1}{2} \arctan u$。因此，$\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u^2(1+u^2)} du = -\dfrac{1}{2u} + \dfrac{1}{2} \arctan u$。
步骤 5：合并结果
将步骤 2 和步骤 4 的结果合并，得到 $\int \dfrac{\arctan u}{u^3} du = -\dfrac{1}{2u^2} \arctan u - \dfrac{1}{2u} + \dfrac{1}{2} \arctan u + C$。将 $u = e^x$ 代回，得到 $\int \dfrac{\arctan e^x}{e^{2x}} dx = -\dfrac{1}{2e^{2x}} \arctan e^x - \dfrac{1}{2e^x} + \dfrac{1}{2} \arctan e^x + C$。
设 $u = e^x$，则 $du = e^x dx$，即 $dx = \dfrac{du}{u}$。代入原积分，得到 $\int \dfrac{\arctan u}{u^2} \cdot \dfrac{du}{u} = \int \dfrac{\arctan u}{u^3} du$。
步骤 2：分部积分
使用分部积分法，设 $v = \arctan u$，$dw = \dfrac{1}{u^3} du$，则 $dv = \dfrac{1}{1+u^2} du$，$w = -\dfrac{1}{2u^2}$。根据分部积分公式 $\int v dw = vw - \int w dv$，得到 $\int \dfrac{\arctan u}{u^3} du = -\dfrac{1}{2u^2} \arctan u + \int \dfrac{1}{2u^2} \cdot \dfrac{1}{1+u^2} du$。
步骤 3：简化积分
将上一步得到的积分简化，得到 $\int \dfrac{1}{2u^2} \cdot \dfrac{1}{1+u^2} du = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u^2(1+u^2)} du$。使用部分分式分解，得到 $\dfrac{1}{u^2(1+u^2)} = \dfrac{1}{u^2} - \dfrac{1}{1+u^2}$。因此，$\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u^2(1+u^2)} du = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u^2} du - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{1+u^2} du$。
步骤 4：计算积分
计算两个积分，得到 $\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u^2} du = -\dfrac{1}{2u}$，$\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{1+u^2} du = \dfrac{1}{2} \arctan u$。因此，$\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u^2(1+u^2)} du = -\dfrac{1}{2u} + \dfrac{1}{2} \arctan u$。
步骤 5：合并结果
将步骤 2 和步骤 4 的结果合并，得到 $\int \dfrac{\arctan u}{u^3} du = -\dfrac{1}{2u^2} \arctan u - \dfrac{1}{2u} + \dfrac{1}{2} \arctan u + C$。将 $u = e^x$ 代回，得到 $\int \dfrac{\arctan e^x}{e^{2x}} dx = -\dfrac{1}{2e^{2x}} \arctan e^x - \dfrac{1}{2e^x} + \dfrac{1}{2} \arctan e^x + C$。