[题目]求 int dfrac (arctan {e)^x}({e)^2x}dx

考查要点：本题主要考查分部积分法在复杂积分中的应用，以及对指数函数与反三角函数组合积分的处理能力。

解题核心思路：

1. 分部积分法的选择：将$\arctan{e^x}$设为$u$，剩余部分$e^{-2x}dx$设为$dv$，通过分部积分拆分原积分。
2. 变量替换：对分部积分后的新积分，通过令$t = e^x$简化表达式，并利用部分分式分解进一步求解。
3. 关键点：正确处理分部积分后的剩余积分，避免符号错误，并注意积分结果的整理。

分部积分法应用

设$u = \arctan{e^x}$，则$du = \dfrac{e^x}{1 + e^{2x}}dx$；
设$dv = e^{-2x}dx$，则$v = -\dfrac{1}{2}e^{-2x}$。
根据分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，原积分变为：
$\begin{aligned}\int \dfrac{\arctan{e^x}}{e^{2x}}dx &= -\dfrac{1}{2}e^{-2x}\arctan{e^x} + \dfrac{1}{2}\int \dfrac{e^{-2x} \cdot e^x}{1 + e^{2x}}dx \\&= -\dfrac{1}{2}e^{-2x}\arctan{e^x} + \dfrac{1}{2}\int \dfrac{e^{-x}}{1 + e^{2x}}dx.\end{aligned}$

处理剩余积分

令$t = e^x$，则$dt = e^x dx$，即$dx = \dfrac{dt}{t}$。代入剩余积分：
$\int \dfrac{e^{-x}}{1 + e^{2x}}dx = \int \dfrac{1/t}{1 + t^2} \cdot \dfrac{dt}{t} = \int \dfrac{1}{t^2(1 + t^2)}dt.$

部分分式分解

将$\dfrac{1}{t^2(1 + t^2)}$分解为：
$\dfrac{1}{t^2(1 + t^2)} = \dfrac{1}{t^2} - \dfrac{1}{1 + t^2}.$

积分得：
$\int \left( \dfrac{1}{t^2} - \dfrac{1}{1 + t^2} \right) dt = -\dfrac{1}{t} - \arctan{t} + C.$

代回变量并整理结果

将$t = e^x$代回，剩余积分为：
$-\dfrac{1}{e^x} - \arctan{e^x} + C = -e^{-x} - \arctan{e^x} + C.$

最终原积分结果为：
$\begin{aligned}\int \dfrac{\arctan{e^x}}{e^{2x}}dx &= -\dfrac{1}{2}e^{-2x}\arctan{e^x} + \dfrac{1}{2}\left( -e^{-x} - \arctan{e^x} \right) + C \\&= -\dfrac{1}{2}e^{-2x}\arctan{e^x} - \dfrac{1}{2}e^{-x} - \dfrac{1}{2}\arctan{e^x} + C.\end{aligned}$