题目
【例4】(2012,数二)过点(0,1)作曲线L:y=ln x的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成.求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.【方法1】设切点为(x_(0),y_(0)),则切线方程为y-y_(0)=(1)/(x_(0))(x-x_(0)).【方法2】设过点(0,1)的切线方程为y-1=kx.
【例4】(2012,数二)过点(0,1)作曲线$L:y=\ln x$的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成.求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
【方法1】设切点为$(x_{0},y_{0})$,则切线方程为$y-y_{0}=\frac{1}{x_{0}}(x-x_{0})$.
【方法2】设过点(0,1)的切线方程为$y-1=kx$.
题目解答
答案
1. **求切点 $A$ 坐标**
设切点 $A(x_0, y_0)$，则 $y_0 = \ln x_0$。切线斜率 $k = \frac{1}{x_0}$，切线方程为 $y - y_0 = \frac{1}{x_0}(x - x_0)$。过点 $(0, 1)$，代入得 $x_0 = e^2$，$y_0 = 2$。
**答案：$A(e^2, 2)$**
2. **求点 $B$ 坐标**
$B$ 为曲线与 $x$ 轴交点，$\ln x = 0$，得 $x = 1$。
**答案：$B(1, 0)$**
3. **求直线 $AB$ 方程**
斜率 $k = \frac{2}{e^2 - 1}$，方程：$y = \frac{2}{e^2 - 1}(x - 1)$。
4. **求区域 $D$ 面积**
$S = \int_1^{e^2} \ln x \, dx - \int_1^{e^2} \frac{2}{e^2 - 1}(x - 1) \, dx = 2$。
5. **求旋转体体积**
$V = \pi \int_1^{e^2} (\ln x)^2 \, dx - \pi \int_1^{e^2} \left[ \frac{2}{e^2 - 1}(x - 1) \right]^2 \, dx = \frac{2\pi (e^2 - 1)}{3}$。
**答案：**
面积：$\boxed{2}$
体积：$\boxed{\frac{2\pi (e^2 - 1)}{3}}$
解析
步骤 1：求切点 $A$ 坐标
设切点 $A(x_0, y_0)$，则 $y_0 = \ln x_0$。切线斜率 $k = \frac{1}{x_0}$，切线方程为 $y - y_0 = \frac{1}{x_0}(x - x_0)$。过点 $(0, 1)$，代入得 $x_0 = e^2$，$y_0 = 2$。
步骤 2：求点 $B$ 坐标
$B$ 为曲线与 $x$ 轴交点，$\ln x = 0$，得 $x = 1$。
步骤 3：求直线 $AB$ 方程
斜率 $k = \frac{2}{e^2 - 1}$，方程：$y = \frac{2}{e^2 - 1}(x - 1)$。
步骤 4：求区域 $D$ 面积
$S = \int_1^{e^2} \ln x \, dx - \int_1^{e^2} \frac{2}{e^2 - 1}(x - 1) \, dx = 2$。
步骤 5：求旋转体体积
$V = \pi \int_1^{e^2} (\ln x)^2 \, dx - \pi \int_1^{e^2} \left[ \frac{2}{e^2 - 1}(x - 1) \right]^2 \, dx = \frac{2\pi (e^2 - 1)}{3}$。
设切点 $A(x_0, y_0)$，则 $y_0 = \ln x_0$。切线斜率 $k = \frac{1}{x_0}$，切线方程为 $y - y_0 = \frac{1}{x_0}(x - x_0)$。过点 $(0, 1)$，代入得 $x_0 = e^2$，$y_0 = 2$。
步骤 2：求点 $B$ 坐标
$B$ 为曲线与 $x$ 轴交点，$\ln x = 0$，得 $x = 1$。
步骤 3：求直线 $AB$ 方程
斜率 $k = \frac{2}{e^2 - 1}$，方程：$y = \frac{2}{e^2 - 1}(x - 1)$。
步骤 4：求区域 $D$ 面积
$S = \int_1^{e^2} \ln x \, dx - \int_1^{e^2} \frac{2}{e^2 - 1}(x - 1) \, dx = 2$。
步骤 5：求旋转体体积
$V = \pi \int_1^{e^2} (\ln x)^2 \, dx - \pi \int_1^{e^2} \left[ \frac{2}{e^2 - 1}(x - 1) \right]^2 \, dx = \frac{2\pi (e^2 - 1)}{3}$。