题目
设 alpha_(1)=(1,0,1), alpha_(2)=(1,1,0), alpha_(3)=(4,2,2), alpha_(4)=(2,1,1), 则下列哪组向量不是这个向量组的最大无关组 (). A. alpha_(1), alpha_(2)B. alpha_(1), alpha_(3)C. alpha_(2), alpha_(4)D. alpha_(3), alpha_(4)
设 $\alpha_{1}=(1,0,1)$, $\alpha_{2}=(1,1,0)$, $\alpha_{3}=(4,2,2)$, $\alpha_{4}=(2,1,1)$, 则下列哪组向量不是这个向量组的最大无关组 ().
- A. $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$
- B. $\alpha_{1}$, $\alpha_{3}$
- C. $\alpha_{2}$, $\alpha_{4}$
- D. $\alpha_{3}$, $\alpha_{4}$
题目解答
答案
将向量组写成矩阵并进行行初等变换：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 4 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 4 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
矩阵的秩为2，故最大无关组包含2个向量。观察发现：
- $\alpha_3 = 2\alpha_4$，即$\alpha_3$和$\alpha_4$线性相关。
因此，选项D（$\alpha_3, \alpha_4$）不是最大无关组。
答案：$\boxed{D}$
解析
步骤 1：构造矩阵
将向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 写成矩阵形式： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：进行行初等变换
对矩阵进行行初等变换，化简为阶梯形矩阵： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：确定最大无关组
矩阵的秩为2，故最大无关组包含2个向量。观察发现： - $\alpha_3 = 2\alpha_4$，即$\alpha_3$和$\alpha_4$线性相关。 因此，选项D（$\alpha_3, \alpha_4$）不是最大无关组。
将向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 写成矩阵形式： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：进行行初等变换
对矩阵进行行初等变换，化简为阶梯形矩阵： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：确定最大无关组
矩阵的秩为2，故最大无关组包含2个向量。观察发现： - $\alpha_3 = 2\alpha_4$，即$\alpha_3$和$\alpha_4$线性相关。 因此，选项D（$\alpha_3, \alpha_4$）不是最大无关组。