圆15求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为-|||-_(1)=((4,3,1,2))^T _(2)=((0,1,3,-2))^T

考查要点：本题要求根据给定的基础解系构造对应的齐次线性方程组，主要考查解空间与系数矩阵的关系以及正交补空间的概念。

解题核心思路：

1. 基础解系的维数为解空间的维数，即 $n - r$（$n$ 为未知数个数，$r$ 为系数矩阵的秩）。
2. 系数矩阵的行向量必须与基础解系中的向量正交，因此可通过构造正交条件求解系数矩阵。
3. 构造两个线性无关的行向量，使其与基础解系正交，从而确定方程组的形式。

破题关键点：

• 通过基础解系的维数确定系数矩阵的秩。
• 建立行向量与基础解系正交的方程组，求解自由变量得到行向量。

步骤1：确定系数矩阵的秩
基础解系含2个向量，解空间维数为2，因此系数矩阵的秩 $r = n - 2 = 4 - 2 = 2$。

步骤2：构造正交条件
设系数矩阵 $A$ 的行向量为 $(a, b, c, d)$，需满足：
$\begin{cases}4a + 3b + c + 2d = 0 \quad (\text{与 } \eta_1 \text{正交}) \\0a + 1b + 3c - 2d = 0 \quad (\text{与 } \eta_2 \text{正交})\end{cases}$

步骤3：求解行向量
从第二个方程得 $b = -3c + 2d$，代入第一个方程：
$4a + 3(-3c + 2d) + c + 2d = 0 \implies a = 2c - 2d$
令自由变量 $c=1, d=0$，得行向量 $(2, -3, 1, 0)$；
令自由变量 $c=0, d=1$，得行向量 $(-2, 2, 0, 1)$。

步骤4：构建方程组
将行向量作为方程组的系数，得到：
$\begin{cases}2x_1 - 3x_2 + x_3 = 0 \\-2x_1 + 2x_2 + x_4 = 0\end{cases}$