题目
2.设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,在区间[0,2]上，f(x)=x(x²-4),若对任意的x都 满足f(x)=-(1)/(2)f(x+2).写出f(x)在[-2,0)上的表达式.
2.设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,在区间[0,2]上，f(x)=x(x²-4),若对任意的x都 满足$f(x)=-\frac{1}{2}f(x+2)$.写出f(x)在[-2,0)上的表达式.
题目解答
答案
设 $ x \in [-2, 0) $，则 $ x+2 \in [0, 2) $。由条件 $ f(x) = -\frac{1}{2} f(x+2) $，且已知 $ f(x+2) = (x+2)((x+2)^2 - 4) $，展开得：
\[
f(x+2) = (x+2)(x^2 + 4x) = x^3 + 6x^2 + 8x.
\]
代入递推关系得：
\[
f(x) = -\frac{1}{2} (x^3 + 6x^2 + 8x) = -\frac{1}{2} x^3 - 3x^2 - 4x.
\]
因此，$ f(x) $ 在 $[-2, 0)$ 上的表达式为：
\[
\boxed{-\frac{1}{2} x^3 - 3x^2 - 4x}.
\]