题目
2.设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,在区间[0,2]上，f(x)=x(x²-4),若对任意的x都 满足f(x)=-(1)/(2)f(x+2).写出f(x)在[-2,0)上的表达式.
2.设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,在区间[0,2]上，f(x)=x(x²-4),若对任意的x都 满足$f(x)=-\frac{1}{2}f(x+2)$.写出f(x)在[-2,0)上的表达式.
题目解答
答案
设 $ x \in [-2, 0) $，则 $ x+2 \in [0, 2) $。由条件 $ f(x) = -\frac{1}{2} f(x+2) $，且已知 $ f(x+2) = (x+2)((x+2)^2 - 4) $，展开得：
\[
f(x+2) = (x+2)(x^2 + 4x) = x^3 + 6x^2 + 8x.
\]
代入递推关系得：
\[
f(x) = -\frac{1}{2} (x^3 + 6x^2 + 8x) = -\frac{1}{2} x^3 - 3x^2 - 4x.
\]
因此，$ f(x) $ 在 $[-2, 0)$ 上的表达式为：
\[
\boxed{-\frac{1}{2} x^3 - 3x^2 - 4x}.
\]
解析
考查要点：本题主要考查函数的递推关系应用及代数表达式的展开与化简。
解题核心思路：利用给定的递推关系式$f(x) = -\frac{1}{2}f(x+2)$，将未知区间$[-2,0)$内的$x$值转换为已知区间$[0,2]$内的$x+2$值，代入已知表达式后展开并化简。
破题关键点：
- 变量替换：当$x \in [-2,0)$时，$x+2 \in [0,2)$，可直接使用已知的$f(x+2)$表达式。
- 代数运算：正确展开并化简表达式，注意符号和系数的处理。
设$x \in [-2, 0)$，则$x+2 \in [0, 2)$。根据题意，$f(x) = -\frac{1}{2}f(x+2)$，且在区间$[0,2]$上$f(x+2) = (x+2)\left[(x+2)^2 - 4\right]$。
步骤1：展开$f(x+2)$
$\begin{aligned}f(x+2) &= (x+2)\left[(x+2)^2 - 4\right] \\&= (x+2)\left(x^2 + 4x + 4 - 4\right) \\&= (x+2)(x^2 + 4x) \\&= x(x^2 + 4x) + 2(x^2 + 4x) \\&= x^3 + 4x^2 + 2x^2 + 8x \\&= x^3 + 6x^2 + 8x.\end{aligned}$
步骤2：代入递推关系式
$f(x) = -\frac{1}{2}f(x+2) = -\frac{1}{2}(x^3 + 6x^2 + 8x) = -\frac{1}{2}x^3 - 3x^2 - 4x.$