题目
将函数f(x)=1/(x^2-x-2)展开成x-1的幂级数
将函数f(x)=1/(x^2-x-2)展开成x-1的幂级数
题目解答
答案
函数f(x)=1/(x^2-x-2)展开成x-1的幂级数是：|x|<2。
解：
为|f(x)=1/(2+x)
=1/2*1/(1+x/2)，
利用公式1/(1-x)=1+x+x²+x³+.....，
将-x/2代入得：
f(x)=1/2*[1-x/2+(x/2)²-(x/2)³+.....]
=1/2-x/2²+x²/2³-x³/2⁴+........，得：
收敛域为|x|<2。
扩展资料：
注意事项：
一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的。一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的。
对于任意给定的正数tol，可以找到合适的区间(譬如坐标绝对值充分小)，使得这个区间内任意三个点组成的三角形面积都小于tol。
解析
步骤 1：因式分解
首先，我们对分母进行因式分解，得到：
\[f(x) = \frac{1}{x^2 - x - 2} = \frac{1}{(x-2)(x+1)}\]
步骤 2：部分分式分解
接下来，我们对函数进行部分分式分解，得到：
\[\frac{1}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}\]
其中，\(A\) 和 \(B\) 是待定系数。通过解方程组，我们得到：
\[A = -\frac{1}{3}, B = \frac{1}{3}\]
因此，我们有：
\[f(x) = -\frac{1}{3(x-2)} + \frac{1}{3(x+1)}\]
步骤 3：幂级数展开
为了将函数展开成\(x-1\)的幂级数，我们首先将每个部分分式转换为以\(x-1\)为中心的幂级数形式。为此，我们分别对每个部分分式进行变形：
\[-\frac{1}{3(x-2)} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1-(x-1)} = -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (x-1)^n\]
\[\frac{1}{3(x+1)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2+(x-1)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+\frac{x-1}{2}} = \frac{1}{6} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{x-1}{2}\right)^n\]
因此，我们得到：
\[f(x) = -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (x-1)^n + \frac{1}{6} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{x-1}{2}\right)^n\]
步骤 4：合并幂级数
将上述两个幂级数合并，得到：
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot (-1)^n \cdot \frac{1}{2^n}\right) (x-1)^n\]
\[= \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3} + \frac{(-1)^n}{3 \cdot 2^{n+1}}\right) (x-1)^n\]
首先，我们对分母进行因式分解，得到：
\[f(x) = \frac{1}{x^2 - x - 2} = \frac{1}{(x-2)(x+1)}\]
步骤 2：部分分式分解
接下来，我们对函数进行部分分式分解，得到：
\[\frac{1}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}\]
其中，\(A\) 和 \(B\) 是待定系数。通过解方程组，我们得到：
\[A = -\frac{1}{3}, B = \frac{1}{3}\]
因此，我们有：
\[f(x) = -\frac{1}{3(x-2)} + \frac{1}{3(x+1)}\]
步骤 3：幂级数展开
为了将函数展开成\(x-1\)的幂级数，我们首先将每个部分分式转换为以\(x-1\)为中心的幂级数形式。为此，我们分别对每个部分分式进行变形：
\[-\frac{1}{3(x-2)} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1-(x-1)} = -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (x-1)^n\]
\[\frac{1}{3(x+1)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2+(x-1)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+\frac{x-1}{2}} = \frac{1}{6} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{x-1}{2}\right)^n\]
因此，我们得到：
\[f(x) = -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (x-1)^n + \frac{1}{6} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{x-1}{2}\right)^n\]
步骤 4：合并幂级数
将上述两个幂级数合并，得到：
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot (-1)^n \cdot \frac{1}{2^n}\right) (x-1)^n\]
\[= \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3} + \frac{(-1)^n}{3 \cdot 2^{n+1}}\right) (x-1)^n\]