14.设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 '(x)neq 0. 证明:存在 xi in (a,b), 使得-|||-dfrac (f(a)-f(xi ))(g(xi )-g(b))=dfrac (f'(xi ))(g'(xi ))

步骤 1：构造辅助函数
为了证明存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $\dfrac {f(a)-f(\xi )}{g(\xi )-g(b)}=\dfrac {f'(\xi )}{g'(\xi )}$ ，我们首先构造一个辅助函数 $F(x)$，使得 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，并且满足 $F(a)=F(b)$。这样，我们可以利用罗尔定理来证明结论。
步骤 2：构造 $F(x)$
我们构造 $F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)$。这个构造是基于结论中的表达式 $\dfrac {f(a)-f(\xi )}{g(\xi )-g(b)}=\dfrac {f'(\xi )}{g'(\xi )}$，通过整理和还原得到的。
步骤 3：验证 $F(x)$ 的性质
验证 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，并且 $F(a)=F(b)$。由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，所以 $F(x)$ 也满足这些性质。同时，$F(a)=f(a)g(b)+f(a)g(a)-f(a)g(a)=f(a)g(b)$，$F(b)=f(b)g(b)+f(a)g(b)-f(b)g(b)=f(a)g(b)$，所以 $F(a)=F(b)$。
步骤 4：应用罗尔定理
由于 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，并且 $F(a)=F(b)$，根据罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $F'(\xi)=0$。
步骤 5：计算 $F'(\xi)$
计算 $F'(x)=f'(x)g(b)+f(a)g'(x)-f'(x)g(x)-f(x)g'(x)$，所以 $F'(\xi)=f'(\xi)g(b)+f(a)g'(\xi)-f'(\xi)g(\xi)-f(\xi)g'(\xi)$。由于 $F'(\xi)=0$，所以 $f'(\xi)g(b)+f(a)g'(\xi)-f'(\xi)g(\xi)-f(\xi)g'(\xi)=0$。
步骤 6：整理得到结论
整理得到 $\dfrac {f(a)-f(\xi )}{g(\xi )-g(b)}=\dfrac {f'(\xi )}{g'(\xi )}$。