题目

求极限lim _(xarrow infty )((1-dfrac {1)(2x))}^dfrac (3{2)x}

求极限 $\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{2x})^{\frac{3}{2}x}$

题目解答

答案

观察题目中待求极限的函数，该函数为幂指函数，则首先对其进行恒等变换：

$(1-\frac{1}{2x})^{\frac{3}{2}x}=e^{\ln(1-\frac{1}{2x})^{\frac{3}{2}x}}=e^{\frac{3}{2}x\cdot\ln(1-\frac{1}{2x})}$

则可首先计算出指数部分的极限 $\lim_{x\to\infty}\frac{3}{2}x\cdot\ln(1-\frac{1}{2x})$ ：

对于该极限，由题意，当 $x\to\infty$ 时， $-\frac{1}{2x}\to0$ ，由常用的等价无穷小代换，则 $\ln(1-\frac{1}{2x})\sim-\frac{1}{2x}$

带入计算即可求得指数部分极限的值：

$\lim_{x\to\infty}\frac{3}{2}x\cdot\ln(1-\frac{1}{2x})=\lim_{x\to\infty}\frac{3}{2}x\cdot\left(-\frac{1}{2x}\right)=-\frac{3}{4}$

因此可得原极限 $\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{2x})^{\frac{3}{2}x}=e^{-\frac{3}{4}}$

解析

步骤 1：恒等变换
观察题目中待求极限的函数，该函数为幂指函数，则首先对其进行恒等变换：
${(1-\dfrac {1}{2x})}^{\dfrac {3}{2}x}={e}^{\ln {(1-\dfrac {1}{2x})}^{\dfrac {3}{2}x}}={e}^{\dfrac {3}{2}x\cdot \ln (1-\dfrac {1}{2x})}$

步骤 2：计算指数部分的极限
对于该极限，由题意，当$x\rightarrow \infty$时，$-\dfrac {1}{2x}\rightarrow 0$，由常用的等价无穷小代换，则$\ln (1-\dfrac {1}{2x})\sim -\dfrac {1}{2x}$
带入计算即可求得指数部分极限的值：
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {3}{2}x\cdot \ln (1-\dfrac {1}{2x})=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {3}{2}x\cdot (-\dfrac {1}{2x})=-\dfrac {3}{4}$

步骤 3：求原极限
因此可得原极限$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{2x})}^{\dfrac {3}{2}x}={e}^{-\dfrac {3}{4}}$