设(x)= ),xgt 0 .,则f(x)在点x=0处（ ） (A)左导数不存在，右导数存在 (B)右导数不存在，左导数存在 (C)左、右导数都存在 (D)左、右导数都不存在

考查要点：本题主要考查分段函数在分界点处的导数存在性，特别是左导数和右导数的计算与判断。

解题核心思路：

1. 分段函数的导数特性：在分界点处，需分别计算左导数和右导数，判断它们是否存在且相等。
2. 关键点：
   • 左导数：当$x \to 0^-$时，函数为$x^2$，其导数为$2x$，在$x=0$处左导数为$0$。
   • 右导数：当$x \to 0^+$时，函数为$x^{1/3}$，其导数为$\frac{1}{3}x^{-2/3}$，当$x \to 0^+$时，导数趋向于无穷大，因此右导数不存在。

破题关键：

• 直接计算左右导数的极限，判断是否存在有限值。若极限不存在（如趋向于无穷），则对应导数不存在。

左导数计算

当$x \leqslant 0$时，$f(x) = x^2$，左导数定义为：
$f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} h = 0$
结论：左导数存在，且$f'_-(0) = 0$。

右导数计算

当$x > 0$时，$f(x) = x^{1/3}$，右导数定义为：
$f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^{1/3} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} h^{-2/3}$
当$h \to 0^+$时，$h^{-2/3} \to +\infty$，因此极限不存在。
结论：右导数不存在。