题目

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 α1 ， α2 ，则 α1 ，A（ α1 + α2 ）线性无关的充分必要条件是（ ） A. λ1≠0 B. λ2≠0 C. λ1=0 D. λ2=0

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为
α1
，
α2
，则
α1
，A（
α1
+
α2
）线性无关的充分必要条件是（ ）

A. λ1≠0
B. λ2≠0
C. λ1=0
D. λ2=0

题目解答

答案


由已知条件知：Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，
∴[
α1
，A(
α1
+
α2
)]＝[
α1
，λ1
α1
+λ2
α2
]＝[
α1
，
α2
]
1 λ1
0 λ 2
，
而
α1
，
α2
也是线性无关的，
∴
α1
，A(
α1
+
α2
)线性无关的充要条件是
1 λ1
0 λ 2
可逆，
即：
.
1 λ1
0 λ 2
.
≠0，
即：λ2≠0，
故选：B．

解析

步骤 1：特征向量与特征值的关系
根据特征值和特征向量的定义，有 Aα1=λ1α1 和 Aα2=λ2α2，其中 λ1 和 λ2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，α1 和 α2 是对应的特征向量。

步骤 2：计算 A(α1 + α2)
根据矩阵乘法的分配律，有 A(α1 + α2) = Aα1 + Aα2 = λ1α1 + λ2α2。

步骤 3：线性无关的条件
要使 α1 和 A(α1 + α2) 线性无关，即要使 [α1, A(α1 + α2)] = [α1, λ1α1 + λ2α2] = [α1, α2]
1
λ1
0
λ2
可逆，即行列式
1
λ1
0
λ2
不等于零。由于 α1 和 α2 已知线性无关，所以只需保证 λ2 ≠ 0 即可。