题目
3.若齐次线性方程组}kx_{1)+x_(3)=02x_(1)+kx_(2)+x_(3)=0kx_(1)-2x_(2)+x_(3)=0.有非零解，则k=____。
3.若齐次线性方程组$\left\{\begin{matrix}kx_{1}+x_{3}=0\\2x_{1}+kx_{2}+x_{3}=0\\kx_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\end{matrix}\right.$有非零解，则k=____。
题目解答
答案
将系数矩阵 $A$ 写为：
\[
A = \begin{pmatrix}
k & 0 & 1 \\
2 & k & 1 \\
k & -2 & 1
\end{pmatrix}
\]
计算行列式：
\[
\det(A) = k \begin{vmatrix}
k & 1 \\
-2 & 1
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
2 & k \\
k & -2
\end{vmatrix} = k(k + 2) + (-4 - k^2) = 2k - 4
\]
令行列式为零：
\[
2k - 4 = 0 \implies k = 2
\]
**答案：** $\boxed{2}$
解析
步骤 1：写出系数矩阵
将方程组的系数写成矩阵形式，得到系数矩阵 $A$： \[ A = \begin{pmatrix} k & 0 & 1 \\ 2 & k & 1 \\ k & -2 & 1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
计算系数矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$： \[ \det(A) = k \begin{vmatrix} k & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 2 & k \\ k & -2 \end{vmatrix} = k(k + 2) + (-4 - k^2) = 2k - 4 \]
步骤 3：令行列式为零
根据齐次线性方程组有非零解的条件，行列式 $\det(A)$ 必须为零： \[ 2k - 4 = 0 \implies k = 2 \]
将方程组的系数写成矩阵形式，得到系数矩阵 $A$： \[ A = \begin{pmatrix} k & 0 & 1 \\ 2 & k & 1 \\ k & -2 & 1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
计算系数矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$： \[ \det(A) = k \begin{vmatrix} k & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 2 & k \\ k & -2 \end{vmatrix} = k(k + 2) + (-4 - k^2) = 2k - 4 \]
步骤 3：令行列式为零
根据齐次线性方程组有非零解的条件，行列式 $\det(A)$ 必须为零： \[ 2k - 4 = 0 \implies k = 2 \]