求极限 lim _(xarrow +infty )dfrac (ln (x+sqrt {{x)^2+1})-ln (x+sqrt ({x)^2-1})}( ln (x+1)-ln (x-1)] )^2}

考查要点：本题主要考查极限的求解方法，特别是利用等价无穷小替换和泰勒展开处理复杂表达式的能力。

解题核心思路：

1. 分子化简：将两个对数相减转化为对数的商，再通过变量替换或展开近似简化。
2. 分母处理：将对数差转化为对数的商，并利用等价无穷小替换简化。
3. 高阶项忽略：在展开过程中，保留主要项并忽略高阶无穷小，最终通过比值求极限。

破题关键点：

• 分子中的对数差：通过展开$\sqrt{x^2 \pm 1}$并化简，得到主要项为$\frac{1}{2x^2}$。
• 分母的平方展开：利用$\ln(1+\epsilon) \sim \epsilon$（当$\epsilon \to 0$），将分母近似为$\left(\frac{2}{x}\right)^2$。

分子部分展开

1. 展开$\sqrt{x^2 \pm 1}$：

   • $\sqrt{x^2 + 1} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \approx x + \frac{1}{2x}$（泰勒展开至一阶）。
   • $\sqrt{x^2 - 1} = x \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} \approx x - \frac{1}{2x}$。

2. 计算对数差：

   • $\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \approx \ln\left(2x + \frac{1}{2x}\right) = \ln(2x) + \ln\left(1 + \frac{1}{4x^2}\right) \approx \ln(2x) + \frac{1}{4x^2}$。
   • $\ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) \approx \ln\left(2x - \frac{1}{2x}\right) = \ln(2x) + \ln\left(1 - \frac{1}{4x^2}\right) \approx \ln(2x) - \frac{1}{4x^2}$。
   • 相减结果：$\frac{1}{4x^2} - \left(-\frac{1}{4x^2}\right) = \frac{1}{2x^2}$。

分母部分展开

1. 合并对数差：
   • $\ln(x+1) - \ln(x-1) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \ln\left(1 + \frac{2}{x-1}\right)$。
   • 当$x \to +\infty$时，$\frac{2}{x-1} \approx \frac{2}{x}$，利用等价无穷小$\ln(1+\epsilon) \sim \epsilon$，得$\ln\left(1 + \frac{2}{x}\right) \approx \frac{2}{x}$。
   • 平方结果：$\left(\frac{2}{x}\right)^2 = \frac{4}{x^2}$。

极限计算

• 分子与分母比值：$\frac{\frac{1}{2x^2}}{\frac{4}{x^2}} = \frac{1}{8}$。