题目
计算下列对坐标的曲线积分:-|||-xydx,其中L为圆周 ((x-a))^2+(y)^2=(a)^2(agt 0) 及x轴所围成的在第-|||-一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线L的组成
曲线L由两部分组成：L1为圆周${(x-a)}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$在第一象限的部分，L2为x轴上从原点到点(2a,0)的部分。
步骤 2：参数化曲线L1
L1可以参数化为：$\left \{ \begin{matrix} x=a+a\cos t,\\ y=a\sin t,\end{matrix} \right.$ 其中t从0变到π。
步骤 3：计算L1上的积分
将参数化表达式代入积分中，得到：$xydx=a(1+\cos t)\cdot a\sin t\cdot (-a\sin t)dt$。因此，L1上的积分为：$-a^3\int_{0}^{\pi}(\sin^3 t + \sin^2 t \cos t)dt$。
步骤 4：计算L2上的积分
L2上的积分由于y=0，所以xydx=0。
步骤 5：计算总积分
总积分等于L1上的积分加上L2上的积分，即$-a^3\int_{0}^{\pi}(\sin^3 t + \sin^2 t \cos t)dt$。
步骤 6：计算积分值
计算积分值，得到$-a^3(\frac{\pi}{2}+0)=-\frac{\pi}{2}a^3$。
曲线L由两部分组成：L1为圆周${(x-a)}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$在第一象限的部分，L2为x轴上从原点到点(2a,0)的部分。
步骤 2：参数化曲线L1
L1可以参数化为：$\left \{ \begin{matrix} x=a+a\cos t,\\ y=a\sin t,\end{matrix} \right.$ 其中t从0变到π。
步骤 3：计算L1上的积分
将参数化表达式代入积分中，得到：$xydx=a(1+\cos t)\cdot a\sin t\cdot (-a\sin t)dt$。因此，L1上的积分为：$-a^3\int_{0}^{\pi}(\sin^3 t + \sin^2 t \cos t)dt$。
步骤 4：计算L2上的积分
L2上的积分由于y=0，所以xydx=0。
步骤 5：计算总积分
总积分等于L1上的积分加上L2上的积分，即$-a^3\int_{0}^{\pi}(\sin^3 t + \sin^2 t \cos t)dt$。
步骤 6：计算积分值
计算积分值，得到$-a^3(\frac{\pi}{2}+0)=-\frac{\pi}{2}a^3$。