计算下列对坐标的曲线积分:-|||-xydx,其中L为圆周 ((x-a))^2+(y)^2=(a)^2(agt 0) 及x轴所围成的在第-|||-一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);

考查要点：本题主要考查对坐标的曲线积分的计算，涉及参数方程的应用及分项积分法。

解题核心思路：

1. 确定积分路径：曲线L由上半圆弧L₁和x轴上的线段L₂组成，需注意方向。
2. 参数化曲线：对L₁使用参数方程，L₂因y=0可直接判断积分值为0。
3. 分项积分：将被积函数拆分为易积分的形式，利用三角函数的积分公式简化计算。

破题关键点：

• 路径分解：正确识别L的构成，明确各段的方向。
• 参数方程选择：合理选择参数t的范围，确保积分上下限正确。
• 积分技巧：利用降幂公式和换元法处理三角函数积分。

曲线L的构成

曲线L由两部分组成：

• L₁：上半圆弧，参数方程为：
  $\begin{cases} x = a + a\cos t, \\ y = a\sin t, \end{cases} \quad t \in [0, \pi]$
  对应从点$(2a, 0)$逆时针移动到$(0, 0)$。
• L₂：线段$y=0$，$x$从$0$到$2a$，积分时$y=0$，故$\int_{L_2} xy \, dx = 0$。

计算L₁上的积分

将参数方程代入积分：
$\int_{L_1} xy \, dx = \int_{0}^{\pi} (a + a\cos t)(a\sin t) \cdot (-a\sin t) \, dt$
展开被积函数：
$= -a^3 \int_{0}^{\pi} (1 + \cos t)\sin^2 t \, dt$
分项积分：

1. 第一项：$\int_{0}^{\pi} \sin^2 t \, dt$
   利用降幂公式$\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$，积分结果为$\frac{\pi}{2}$。
2. 第二项：$\int_{0}^{\pi} \sin^2 t \cos t \, dt$
   换元法：令$u = \sin t$，则积分变为$\int_{0}^{0} u^2 \, du = 0$。

综上，积分结果为：
$-a^3 \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = -\frac{\pi}{2} a^3$