题目
平行于平面: 5x-14y+2z+36=0, 且与此平面的距离为3的平面方程为_____。
平行于平面:
$$5x-14y+2z+36=0$$, 且与此平面的距离为3的平面方程为_____。
题目解答
答案
$$5x-14y+2z+81=0$$ 或$$5x-14y+2z-9=0$$。
解析
步骤 1：确定平面的法向量
给定平面的方程为 $$5x-14y+2z+36=0$$，其法向量为 $$\vec{n} = (5, -14, 2)$$。
步骤 2：计算距离公式
平面 $$Ax + By + Cz + D = 0$$ 与点 $$(x_0, y_0, z_0)$$ 之间的距离公式为：
$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
由于所求平面平行于给定平面，它们的法向量相同，因此所求平面的方程可以表示为 $$5x-14y+2z+D=0$$，其中 $$D$$ 是待求的常数。
步骤 3：利用距离公式求解常数 $$D$$
给定平面与所求平面的距离为3，因此有：
$$3 = \frac{|D - 36|}{\sqrt{5^2 + (-14)^2 + 2^2}}$$
$$3 = \frac{|D - 36|}{\sqrt{25 + 196 + 4}}$$
$$3 = \frac{|D - 36|}{\sqrt{225}}$$
$$3 = \frac{|D - 36|}{15}$$
$$|D - 36| = 45$$
因此，$$D - 36 = 45$$ 或 $$D - 36 = -45$$，解得 $$D = 81$$ 或 $$D = -9$$。
给定平面的方程为 $$5x-14y+2z+36=0$$，其法向量为 $$\vec{n} = (5, -14, 2)$$。
步骤 2：计算距离公式
平面 $$Ax + By + Cz + D = 0$$ 与点 $$(x_0, y_0, z_0)$$ 之间的距离公式为：
$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
由于所求平面平行于给定平面，它们的法向量相同，因此所求平面的方程可以表示为 $$5x-14y+2z+D=0$$，其中 $$D$$ 是待求的常数。
步骤 3：利用距离公式求解常数 $$D$$
给定平面与所求平面的距离为3，因此有：
$$3 = \frac{|D - 36|}{\sqrt{5^2 + (-14)^2 + 2^2}}$$
$$3 = \frac{|D - 36|}{\sqrt{25 + 196 + 4}}$$
$$3 = \frac{|D - 36|}{\sqrt{225}}$$
$$3 = \frac{|D - 36|}{15}$$
$$|D - 36| = 45$$
因此，$$D - 36 = 45$$ 或 $$D - 36 = -45$$，解得 $$D = 81$$ 或 $$D = -9$$。