平行于平面: 5x-14y+2z+36=0, 且与此平面的距离为3的平面方程为_____。

考查要点：本题主要考查平行平面方程的求解及平面间距离公式的应用。

解题核心思路：

1. 平行平面的法向量相同，因此所求平面方程形式为原平面方程常数项变化后的形式。
2. 利用平面间距离公式建立方程，求解常数项的可能取值。

破题关键点：

• 明确平行平面的法向量相同，确定方程形式。
• 正确应用平面间距离公式，注意绝对值符号的处理，得到两个可能解。

设所求平面方程为 $5x - 14y + 2z + D = 0$，与原平面 $5x - 14y + 2z + 36 = 0$ 平行。

根据平面间距离公式：
$\text{距离} = \frac{|D - 36|}{\sqrt{5^2 + (-14)^2 + 2^2}} = 3$

计算分母：
$\sqrt{25 + 196 + 4} = \sqrt{225} = 15$

代入公式得：
$\frac{|D - 36|}{15} = 3 \implies |D - 36| = 45$

解绝对值方程：

1. 情况一：$D - 36 = 45 \implies D = 81$
2. 情况二：$D - 36 = -45 \implies D = -9$

因此，所求平面方程为：
$5x - 14y + 2z + 81 = 0 \quad \text{或} \quad 5x - 14y + 2z - 9 = 0$